Projecteur (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Projecteur et Projection.

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

  • une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
  • une application linéaire idempotente : elle vérifie p2 = p.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : x=x'+x'', (x',x'') \in F \times G. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application

\begin{matrix} p: & E = F + G &\rightarrow E\\ & x = x' + x''&\mapsto x' \end{matrix}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (pp=p), son image est \operatorname{Im}(p) = F, son noyau est \operatorname{Ker}(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections[modifier | modifier le code]

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im (p) parallèlement à Ker (p). Notamment si p est un projecteur Im (p) et Ker (p) sont des sous-espaces supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteur[modifier | modifier le code]

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Projecteurs de même image[modifier | modifier le code]

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p∘r = r et r∘p = p.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires[modifier | modifier le code]

Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels E_1,\cdots,E_n si et seulement si pour tout i \in \left \{ 1,\cdots, n \right \} il existe des projecteurs p_i : E \to E_i vérifiant : \operatorname{Id}_E = p_1 + \cdots + p_n et p_i \circ p_j = 0 si i \neq j.

Symétries[modifier | modifier le code]

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

  • p est un projecteur si et seulement si 2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p2=p, ou que s2=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux[modifier | modifier le code]

Représentation matricielle en base adaptée[modifier | modifier le code]

Tout projecteur est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0.

En effet, si l'on pose \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_n) une base de E avec e_1,\ldots,e_r des vecteurs de \operatorname{Im}(p) et e_{r+1},\ldots,e_n des vecteurs de \operatorname{Ker}(p) (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}} (p) = \begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0}\\
\mathbf{0} & \mathbf{0}_{n-r}\end{pmatrix}.

On a donc les propriétés suivantes :

  • Sur la diagonale apparaissent uniquement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
  • Les autres coefficients sont nuls.