Métrique de Minkowski

Le tenseur métrique de Minkowski, ou plus simplement la métrique de Minkowski, est une métrique définissant les propriétés de l'espace de Minkowski qui a un rôle fondamental dans le domaine des théories de la relativité. Cette métrique a la propriété d'être conservée par une transformation de Lorentz.

Définition

En physique théorique, le formalisme quadridimensionnel utilisé pour l'étude de l'espace-temps utilise le vecteur de position espace-temps $x$ représenté par :

$x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},x)=(t,x)$

• où les $x^{\mu }$ sont les composantes contravariantes du tenseur (et $x_{\mu }=(x^{0},-x)$ sont les composantes covariantes).

Si on note $e_{\mu }$ les vecteurs de base, alors le vecteur $A$ de composantes contravariantes $A^{\mu }$ parallèles aux $e_{\mu }$ s'écrit, selon la convention d'Albert Einstein :

$A=\sum _{\mu =0}^{3}A^{\mu }e_{\mu }=A^{\mu }e_{\mu }$.

Le produit scalaire de deux quadrivecteurs $A$ et $B$ peut alors se noter :

$A\cdot B\equiv A^{\mu }e_{\mu }\cdot B^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }B^{\nu }g_{\mu \nu }$

• où $g_{\mu \nu }\equiv e_{\mu }\cdot e_{\nu }$ est le tenseur métrique (ou la métrique).

Conventions de notation

Pour deux événements séparés dans l'espace par $\Delta x$, $\Delta y$, et $\Delta z$, et dans le temps par $\Delta t$, on définit entre eux la quantité invariante de Lorentz par la forme différentielle :

$\tau ^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}$

qui peut aussi s'écrire :

$(\Delta s)^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$.

Où $\tau ^{2}$ est obtenu avec $(y-x)\cdot (y-x)$, à partir des deux événements $x$ et $y$.

Dans le premier cas, en prenant comme norme de vecteurs de base $e_{\mu }^{2}=\{1$ si $\mu =0$ et $-1$ si $\mu =1,2,3\}$, alors la métrique s'écrit :

$g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$.

On dit que cette forme a la signature $(+---)$.

Dans le deuxième cas, les signes sont inversés et la métrique s'écrit, en utilisant les composantes covariantes notées en indice :

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

Cette forme a la signature $(-+++)$.

En résumé, la métrique de Minkowski est définie par l'expression :

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$,

de signature $\left(+---\right)$ et où :

• $t$ est la coordonnée de temps,
• $x,y,z$ sont les trois coordonnées d'espace,
• $\tau$ est le temps propre,
• $c$ est la vitesse de la lumière.

La notation $\eta _{\mu \nu }$ est parfois utilisée pour désigner spécifiquement la métrique de Minkowski.

Propriétés

Soient deux événements distincts dans l'espace-temps notés ${\widetilde {x}}=x^{\mu }e_{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)$ ainsi que ${\widetilde {y}}=y^{\nu }e_{\nu }=\left(y^{0},y^{1},y^{2},y^{3}\right)$. Le produit scalaire dans l'espace de Minkowski s'écrit :

${\widetilde {x}}\cdot {\widetilde {y}}=\left(x^{\mu }e_{\mu }\right)\cdot \left(y^{\nu }e_{\nu }\right)=\left(x^{\mu }y^{\nu }\right)\left(e_{\mu }\cdot e_{\nu }\right)$

où le produit scalaire des vecteurs de base s'écrit :

$e_{\mu }\cdot e_{\nu }\equiv g_{\mu \nu }$.

La forme quadratique $Q({\widetilde {x}})={\widetilde {x}}^{2}$ est de genre temps lorsque ${\widetilde {x}}^{2}>0$, de genre lumière lorsque ${\widetilde {x}}^{2}=0$ et de genre espace lorsque ${\widetilde {x}}^{2}<0$. Soit une transformation de Lorentz $L$, l'intervalle d'espace-temps est invariant de Lorentz d'un référentiel galiléen à un autre, soit $Q({\widetilde {x}})=Q(L({\widetilde {x}}))=Q({\widetilde {x}}^{\prime })$. Il est à noter que toute métrique, quelle qu'elle soit, peut être décrite par la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées géodésiques locales.

Le tenseur métrique $g_{\mu \nu }$ et son inverse $g^{\mu \nu }$ coïncident :

$g_{\mu \nu }=(g_{\mu \nu })^{-1}=g^{\mu \nu }$

et

$g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$.

Voir aussi

Bibliographie

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Article connexe

• Intervalle d'espace-temps