Racine cubique

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Courbe de la racine cubique d'un nombre réel positif x en fonction de x.

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre réel x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire lui-même multiplié par lui-même deux fois) vaut y ; en d'autres termes, y = x^3. La racine cubique de y est notée \sqrt[3]{y}.

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Racine cubique d'un nombre réel[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine cubique de 8 est 2 car 2 × 2 × 2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

\sqrt[3]{8} = 2

La racine cubique de -27 est -3 car (-3) × (-3) × (-3) = -27

\sqrt[3]{-27} = -3

Définition[modifier | modifier le code]

Racine cubique d'un nombre[modifier | modifier le code]

De façon générique, on rappelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) y tout nombre x solution de l'équation :

x^3 = y~

Dans R, cette équation a une unique solution (réelle) qui est la racine cubique de y : x = \sqrt[3]{y}.

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes qui sont les racines cubiques de y. Ces trois solutions sont : \sqrt[3]{y}, j*\sqrt[3]{y} et \bar j * \sqrt[3]{y}, où \sqrt[3]{y} est la racine cubique de y (voir définition de la fonction racine cubique dans C ci-dessous), j = (-1+i\sqrt{3})/2 et \bar j = (-1-i\sqrt{3})/2, avec i l'unité imaginaire.

Fonction racine cubique[modifier | modifier le code]

En tant que fonction, la racine cubique d'un nombre est unique et la définition précédente n'est plus applicable.

Définition sur R[modifier | modifier le code]

Sur l'ensemble des réels, la fonction racine cubique, notée \sqrt[3]{~}, est celle qui associe à un nombre réel y l'unique nombre réel x solution de l'équation :

x^3 = y~

On note alors :

x = \sqrt[3]{y}

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers[Note 1] :

\forall y \in R^{+*} ~ \sqrt[3]{y} = y^{1\over3}
Définition sur C[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition ou la soustraction.

Racines cubiques d'un nombre complexe[modifier | modifier le code]

Une racine cubique d'un nombre complexe z est un nombre u qui élevé au cube donne z; c'est-à-dire tel que u^3=z.

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques distinctes. Un nombre réel possède une unique racine cubique réelle, mais on peut en trouver deux autres complexes, conjuguées l'une de l'autre, si l'on se place dans le domaine complexe.

Par exemple, les racines de l'unité (1) sont :

  • 1
  • j={-1 + i\sqrt{3}\over2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}
  • j^2={-1 - i\sqrt{3}\over2}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}.

On a alors la relation:

1+j+j^2=0

Si R est une racine d'un nombre réel ou complexe, les deux autres racines peuvent être retrouvées en multipliant R par les deux racines cubiques complexes de l'unité.

Calcul facile de la racine cubique[modifier | modifier le code]

Une méthode simple permet de calculer la racine cubique d'un nombre en n'utilisant qu'une simple calculette non scientifique.

  • Entrer le nombre dont la racine cubique est désirée
  • Appuyer une fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer deux fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer quatre fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer huit fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • ...

Répéter ainsi jusqu'à ce que l'affichage soit 1 (et donc ne change plus). Appuyer une fois encore sur multiplication puis une (seule) dernière fois sur le bouton racine carrée. Le chiffre qui s'affiche alors est une approximation — très proche — de la racine cubique du nombre initial.

Principe de la méthode[modifier | modifier le code]

Il est possible de démontrer que

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,

Après avoir élevé x à la puissance 1/3 en utilisant la relation précédente, nous obtenons:

x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) ...} (*)

Le membre de gauche est la racine cubique de x.

Les différentes étapes de cette méthode sont:

À la première étape:

x^{\frac{1}{2^2}}

À la quatrième étape:

x^{\frac{1}{2^2} (1 + \frac{1}{2^2})}

À la sixième étape:

x^{\frac{1}{2^2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4})}

À la huitième étape:

x^{\frac{1}{2^2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4}) (1 + \frac{1}{2^8})}

etc.

Après avoir calculé un nombre suffisant de termes selon la précision de la machine à calculer, l'extraction de la dernière racine carrée donne le membre de droite de la relation (*).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En effet, par définition, comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R+* (les réels strictement positifs) : x^{1\over 3} = \exp({1\over 3} \ln(x))

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]