Racine cubique

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Courbe de la racine cubique d'un nombre réel positif x en fonction de x.

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre réel x dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3e) vaut y ; en d'autres termes, y = x^3=x\times x\times x. La racine cubique de y est notée \sqrt[3]{y}.

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Définition[modifier | modifier le code]

De façon générale, on rappelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) y tout nombre x solution de l'équation :

x^3 = y.

Si y est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel y : x = \sqrt[3]{y}.

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe y. Lorsque ce complexe y est un réel, ces trois solutions sont : \sqrt[3]{y}, {\rm j}\sqrt[3]{y} et \overline{\rm j}\sqrt[3]{y}, où \sqrt[3]{y} est la racine cubique réelle de y et 1, j et j sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.

Racine cubique d'un nombre réel[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

\sqrt[3]{8} = 2.

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27.

\sqrt[3]{-27} = -3.

Fonction racine cubique[modifier | modifier le code]

Sur R, la fonction racine cubique, notée \sqrt[3]{~}, est celle qui associe à un nombre réel y son unique racine cubique réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers[Note 1] :

\forall y \in\R^{+*} ~ \sqrt[3]{y} = y^{1\over3}

Propriétés[modifier | modifier le code]

La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition ou la soustraction.

Racines cubiques d'un nombre complexe[modifier | modifier le code]

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont jZ et j2Z, où

1,\quad{\rm j}=\frac{-1+{\rm i}\sqrt3}2={\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi}3}\quad{\rm et}\quad{\rm j}^2=\overline{\rm j}=\frac{-1-{\rm i}\sqrt3}2={\rm e}^{-{\rm i}\frac{2\pi}3}

sont les trois racines cubiques de l'unité.

Note[modifier | modifier le code]

  1. En effet, comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R+* : pour tout réel y > 0, y1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

Articles connexes[modifier | modifier le code]