Triangle cévien

Le triangle P_AP_BP_C (en rouge) est le triangle cévien de P pour le triangle ABC.

En géométrie, dans un triangle, le triangle cévien ou triangle pédal d'un point est le triangle formé par les intersections des céviennes passant par ce point et les côtés du triangle de référence.

Définition

Dans un triangle ABC, on considère un point P, non situé sur les côtés du triangle. Les droites (PA) et (BC) se croisent en P_A, les droites (PB) et (AC) se croisent en P_B, et les droites (PC) et (AB) se croisent en P_C. Alors le triangle P_AP_BP_C est appelé triangle cévien de P pour le triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle cévien de P est le cercle cévien.

Il ne doit pas être confondu avec le triangle podaire qui est le triangle formé par les projections orthogonales du point P sur les côtés, lequel est désigné en anglais par "pedal triangle".

Exemples

• le triangle cévien de l'orthocentre est le triangle orthique
• le triangle cévien du centre de gravité est le triangle médian
• le triangle cévien du point de Gergonne est le triangle de contact (points où le cercle inscrit touche les côtés du triangle)

Propriétés

• Les points P_A,P_B,P_C, vérifient la relation de Ceva : ${\frac {\overline {P_{A}B}}{\overline {P_{A}C}}}{\frac {\overline {P_{B}C}}{\overline {P_{B}A}}}{\frac {\overline {P_{C}A}}{\overline {P_{C}B}}}=-1$.
• Le point P a pour coordonnées barycentriques dans $(A,B,C)$ : $\left(-{\frac {\overline {P_{B}C}}{\overline {P_{B}A}}}:-{\frac {\overline {P_{A}C}}{\overline {P_{A}B}}}:1\right)$.
• Un triangle et le triangle cévien du point P pour ce triangle sont en homologie par rapport à P. Par le théorème de Desargues, il existe également une droite (l'axe de l'homologie) par rapport à laquelle les deux triangles sont en homologie ; par exemple, dans le cas où P est à l'orthocentre, il s'agit de l'axe orthique.

• L'aire du triangle cévien du point P de coordonnées trilinéaires (α : β : γ) est donnée par :

${\mathcal {A}}_{cevian}={\frac {2abc|\alpha \beta \gamma |}{\left|(\alpha a+\beta b)(\beta b+\gamma c)(\gamma c+\alpha a)\right|}}{\mathcal {A}}_{ABC}$

• Les symétriques des sommets d'un triangle cévien par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien : si on trace P_A', le symétrique de P_A par rapport au milieu de BC, et qu'on construit de même P_B' et P_C', alors il existe un point P' tel que P_A'P_B'P_C' soit le triangle cévien de P' pour le triangle ABC.

Le point P' est alors appelé conjugué isotomique de P.

• Le cercle cévien d'un point P intersecte AB en P_C et P_C", BC en P_A et P_A", et AC en P_B et P_B". Alors il existe P" tel que P_A"P_B"P_B" soit le triangle cévien de P" pour le triangle ABC.

Le point P" est alors appelé conjugué cyclocévien de P.

• 
  Les symétriques des sommets d'un triangle cévien dans un triangle par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien (en bleu).
• 
  Le cercle circonscrit d'un triangle cévien à un triangle forme un autre triangle cévien dans le même triangle (en vert).

Voir aussi

• Droite centrale

Références

(en) Eric W. Weisstein, « Cevian Triangle », sur MathWorld