Champ gravitationnel

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.

Il est possible de montrer que le champ gravitationnel $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})$ créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire newtonien noté $\Phi(\vec{r})$ en $1/r$, analogue au potentiel électrostatique. En fait, il existe une analogie formelle entre champ électrostatique et champ gravitationnel, et leurs potentiels scalaires respectifs.

La théorie de la relativité générale interprète le champ gravitationnel comme une modification de la métrique de l'espace-temps. A la limite, les équations du champ d'Einstein se ramène à celles du champ gravitationnel classique qui sera seul considéré dans le présent article. L'approximation Newtonienne est valable pour des corps dont le vitesse sont faible devant celle de la lumière dans le vide c, et si le potentiel gravitationnel $\Phi$ qu'ils créent est tel que $\frac{\Phi}{c^2} <<1$.

Champ et potentiel gravitationnels d'une masse ponctuelle

Aspects historiques: loi universelle de la gravitation

La Loi universelle de la gravitation, mise en évidence par Newton en 1687, exprime la force exercée sur un corps ponctuel de masse M placé en point choisi pour origine sur un autre corps de masse m placé au point P tel que $\vec{r}=\overrightarrow{OP}=r\vec{e}_r$:

$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\vec{e}_r$,

où G est la constante gravitationnelle, $G\ =\ 6,673\ 84(80) \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}$.

L'interprétation classique de cette formule est que le corps à l'origine exerce sur le corps en P une force à distance attractive, proportionnelle aux masses des deux corps (en toute rigueur, à leurs masses graves), inversement proportionnelle au carré de leur distance, et dirigé selon la direction de la droite joignant ces deux points. La mise en évidence de cette loi a eu un grand retentissement: en particulier, l'attraction gravitationnelle permettait de démontrer le

Jusqu'au XX^e siècle, la gravitation newtonienne avait l'incontournable qualité de fournir les résultats théoriques les plus conformes à l'expérience et à l'observation. Toutefois, elle fut jugée insatisfaisante sur plusieurs points par Newton lui-même : la force de gravitation agit à distance au travers du vide, et elle agit instantanément.

Dans une lettre de Newton à Richard Bentley en 1692 : « Que la gravité soit innée, inhérente et essentielle à la matière, en sorte qu'un corps puisse agir sur un autre à distance au travers du vide, sans médiation d'autre chose, par quoi et à travers quoi leur action et force puissent être communiquées de l'un à l'autre est pour moi une absurdité dont je crois qu'aucun homme, ayant la faculté de raisonner de façon compétente dans les matières philosophiques, puisse jamais se rendre coupable »

Cette critique fut négligée par certains ou contournée par d'autres en utilisant une sorte d'éther mécanique, milieu incolore, impalpable et impondérable, transmettant instantanément la force d'attraction : idée introduite par Newton lui-même dans le Scholium général du livre III des Principia. Mais cet éther est toujours restée une hypothèse passive, n'intervenant pas dans les calculs, ayant le statut d'hypothèse rassurante quant à la cohérence de cette théorie.

Par suite, parler d'action "à distance" soulève de graves difficultés conceptuelles: comment le corps à l'origine "sait" qu'un autre corps de masse m se trouve en P pour "pouvoir" exercer sur lui la force $\vec{F}$ ? Cette question du caractère "non-local" de la force de gravitation peut cependant être résolue en adoptant un autre point de vue: en effet l'expression de $\vec{F}$ peut se réécrire sous la forme $\vec{F}=m\left(-\frac{GM}{r^2}\vec{e}_r\right)$, c'est-à-dire que le corps de masse M au point O modifie les propriétés locales de l'espace en créant en chaque point un champ gravitationnel $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=-\frac{GM}{r^2}\vec{e}_r$ que "ressent" la masse "d'épreuve" m, qui subit alors la force $\vec{F}=m\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})$.

Le champ ou champ de force de la gravitation apparaît ainsi comme une propriété de l'espace due à la masse d'un corps. Une autre masse entrant en contact avec ce champ est soumise à une influence, une force, due au champ. Ainsi, l'influence gravitationnelle n'est pas, dans ce cadre, créée et transportée instantanément d'un corps à l'autre, mais est déjà présente dans tout l'espace sous la forme du champ et à son contact un corps voit sa dynamique modifiée.

Si ce point de vue apparaît dans le cas de la force gravitationnelle (ainsi que pour la force électrostatique, où il sera aussi adopté) que comme une "astuce" mathématique, il s'est avéré par la suite très fécond et le champ est devenu un objet physique à part entière. En effet dans la première moitié du XIX^e siècle, sous l'impulsion de Michael Faraday est introduite la notion de champ qui permit de regarder le problème sous un autre angle, notamment en utilisant la notion de « flux coupé », en particulier pour décrire la force exercée par le magnétique, qui n'est ne s'exerce pas selon la direction de celui-ci. Ce concept s'avéra ainsi indispensable dans les développements ultérieurs de la physique, notamment pour l'électromagnétisme, puis plus tard, pour la modélisation de la gravitation par Einstein.

Ceci étant, si dans le domaine de l'électromagnétisme la notion de champ se révéla particulièrement pertinente par la suite, le champ électromagnétique transportant de l'énergie et de la quantité de mouvement issus du corps qui l'émet, à l'instar des corps physiques "ordinaires", le champ gravitationnel n'apporta pas les mêmes satisfactions. Il a notamment hérité de la propriété d'être instantanément modifié par le corps qui le crée, et l'éther n'en resta pas moins le support hypothétique du champ. Ces difficultés ne seront pleinement résolues que par la théorie de la relativité générale.

Champ et potentiel gravitationnel

Cas d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle de masse M génère le champ gravitationnel $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=-\frac{GM}{r^2}\vec{e}_r$, purement radial, et ne dépendant que de la distance r à la masse. Il est évident que ce champ dérive d'un potentiel scalaire $\Phi(\vec{r})=-\frac{GM}{r}$ tel que $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, \Phi = - \overrightarrow{\mathrm{\nabla}}\, \Phi$

Le champ gravitationnel a pour dimensions [LT^-2] et s'exprime donc en m.s^-2 dans le Système international d'unités (SI). Le potentiel gravitationnel a lui pour dimensions [L²T^-2] et est donc homogène à l'inverse du carré d'une vitesse: il s'exprime en m².s^-2 en unités SI.

L'énergie potentielle gravitationnelle et la force subie par une masse ponctuelle m en présence de ce champ de gravitation s'exprime respectivement sous la forme :

$E_p=m.\Phi(\vec{r})=-\frac{G.M.m}{r}$,

$\overrightarrow F(\vec{r}) = -m\overrightarrow \nabla \Phi(r) = -\frac{G.M.m}{r^2} \cdot \overrightarrow e_r$.

Il convient de souligner que le potentiel gravitationnel $\Phi(\vec{r}) \!$ est un intermédiaire de calcul, dont dérive le champ gravitationnel, qui lui a une réalité physique. Le potentiel gravitationnel n'est défini qu'à une constante additive près, comme c'est le cas de tous les champs de gradient. Cette constante est choisie telle que le potentiel soit nul à l'infini, ce qui correspond à l'idée physique que l'influence du corps est nulle à l'infini. La méthode du choix est identique pour la définition de l'énergie potentielle de gravitation.

Forme intégrale des équations du champ et du potentiel gravitationnels

Dans le cas de corps non ponctuels, il est possible d'exprimer les potentiel et champ gravitationnels à partir du principe de superposition: le corps non-ponctuel est divisé en "parties" considérées comme ponctuelles, qui chacune crée un potentiel gravitationnel, et donc un champ, en un point donné de l'espace, le potentiel et le champ "complets" étant égaux à la somme des potentiels et champs créés par les diverses "parties" du corps.

Sur le plan mathématiques deux approches sont adoptées:

• une description discrète:: le corps de masse M est considéré comme constitué d'un grand nombre de points matériels M_i de masse m_i, repérés par les vecteurs position $\vec{r}_i$ par rapport à une origine donnée, et tels que $M=\sum_i m_i$. Le potentiel et le champ totaux créés en $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ sont alors donnés par:

$\Phi(\vec{r})=\sum_i -\frac{Gm_i}{\|\vec{r}-\vec{r}_i\|}$,

$\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=\sum_i -\frac{Gm_i(\vec{r}-\vec{r}_i)}{\|\vec{r}-\vec{r}_i\|^3}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, \Phi$.

• une description continue: le corps non ponctuel est alors assimilé à un domaine continu (V) de l'espace. Au voisinage d'un point quelconque M' repéré par $\vec{r}'=\overrightarrow{OM}\,'$ il est possible de considérer un petit volume $\delta V'$ de masse $\delta m'$ pouvant être considéré comme ponctuel, et en passant à la limite $\delta V' \rightarrow 0$ de définit ainsi en tout point de (V) un champ scalaire $\rho(\vec{r}\,')= \lim_{\delta V' \to 0} \frac{\delta m'}{\delta V'}$ appelé masse volumique, la masse totale du corps étant alors donnée par $\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,') \, dV$. Chaque élément de volume infinitésimal $dV'$ de masse $dm'=\rho(\vec{r}\,')\, dV'$ peut être considéré comme générant alors le potentiel "élémentaire" $-\frac{Gdm'}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}=-\frac{G\rho(\vec{r}\,')dV'}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}$. Le potentiel et le champ totaux créés en $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ sont alors donnés par:

$\Phi(\vec{r})=\iiint_{(V)} -\frac{G\rho(\vec{r}\,')dV'}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}$,

$\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})= \iiint_{(V)} -\frac{G\rho(\vec{r}\,')\left( \vec{r}-\vec{r}\,'\right)\,dV'}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|^3}$.

Ces expressions sont les formes intégrales du potentiel et du champ gravitationnel. Elles permettent en théorie de calculer ces derniers pour une distribution arbitraire de masse, elles ne sont cependant guère pratiques, et il est utile de déterminer des équations locales pour le champ de gravitation.

Équations locales du champ de gravitation

Mise en évidence

Comme $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})$ est un champ de gradient, son rotationnel est nul: $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{\mathcal{G}}=\vec{0}$, ce qui correspond à la première équation locale du champ de gravitation.

Par ailleurs, dans la forme intégrale précédente du potentiel gravitationnel créé par une distribution quelconque de charge le terme $-\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}$ qui apparaît dans l'intégrande correspond à un facteur multiplicatif $\frac{1}{4\pi}$ près comme la fonction de Green $G(\vec{r},\vec{r}\,')$ correspondant à la solution de l'équation de Laplace tridimensionnelle $\Delta G = \delta(\vec{r}-\vec{r}\,')$, où $\delta(\vec{r})$ est la "fonction" delta de Dirac. Par suite le potentiel gravitationnel $\Phi(\vec{r})$ créé par une distribution quelconque $\rho(\vec{r}\,')$ de masse peut se mettre sous la forme:

$\Phi(\vec{r})=4\pi G \iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')G(\vec{r},\vec{r}\,')dV'$,

ce qui correspond à l'expression générale en terme de la fonction de Green tridimensionnelle $G(\vec{r},\vec{r}\,')$ de la solution de l'équation de Poisson:

$\Delta \Phi=4\pi G \rho$,

par suite compte tenu du fait que $\Delta \Phi = \mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{grad}} \Phi\right) = -\mathrm{div}\vec{\mathcal{G}}$ il vient la seconde équation locale du champ de gravitation:

$\mathrm{div}\vec{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho$.

Cette équation peut se mettre sous forme intégrale en considérant une surface fermée arbitraire (S) délimitant un domaine (D) de l'espace: il vient successivement en intégrant membre à membre et en utilisant pour transformer celui de gauche le théorème de Green-Ostrogradski:

$\iiint_{(D)} \mathrm{div}\vec{\mathcal{G}}\,dV = -4\pi G \iiint_{(D)} \rho(\vec{r})dV$,

$\oint_{(S)} \vec{\mathcal{G}}\cdot\vec{dS} = -4\pi G M_{int}$,

où $M_{int}$ est la masse totale contenue dans le domaine (D). Ce résultat constitue le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel. Comme son analogue en électrostatique, il permet de calculer aisément le champ gravitationnel généré par des distribution de symétrie particulière: le cas le plus important en pratique est celui où le corps possède une distribution de masses à symétrie sphérique.

Cas d'une distribution à symétrie sphérique

Un corps de masse totale M possède une distribution à symétrie sphérique si la valeur de masse volumique ne dépend que la distance à son centre: $\rho(\vec{r}\,')= \rho(r')$, avec $r'=OM'$, M' étant un point quelconque interne au corps. En d'autres termes, le corps est considéré comme constitué de couches sphériques concentriques, chacune de masse volumique constante. A la limite, le corps sphérique est homogène $\rho=\mathrm{cte}$.

Dans ce cas, tout axe passant par O est axe de symétrie de la distribution et donc du champ gravitationnel résultant: il en découle que $\vec{\mathcal{G}}$ est nécessairement radial et que sa valeur ne peut dépendre que de r: $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=\mathcal{G}(r)\vec{e}_r$. Pr suite, il est possible de considérer une surface sphérique (S) centrée en O, de rayon r>R, il vient en appliquant le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel:

$\oint_{(S)} \mathcal{G}(r)r^2\,d\Omega = -4\pi G M$, $d\Omega$ désignant l'angle solide élémentaire et l'intégration portant sur la sphère unité, il vient:

$4\pi r^2 \mathcal{G}(r)=-4\pi GM$ soit au final pour le champ de gravitation: $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})=-\frac{GM}{r}\vec{e}_r$, pour tout point situé hors de la distribution de masse (r>R).

Par suite, le champ gravitationnel créé à l'extérieur par tout corps à distribution de masse à symétrie sphérique, et donc la force de gravitation qui en découle, est équivalent à celui d'une masse ponctuelle égale à la masse totale du corps, et situé en son centre.

Ce résultat est très important en pratique: la plupart de corps céleste (planètes, étoiles...) sont au moins approximativement à symétrie sphérique, et donc leur potentiel de gravitation peut être calculé comme s'ils étaient ponctuels. Par ailleurs, les distances entre les corps célestes étant également très grande devant leur dimensions propres, les écarts à la symétrie sphérique peuvent être déterminés en utilisant un développement à grande distance du potentiel: cf. plus bas, développement multipolaire.

Analogie avec l'électrostatique

Les équations locales du champ de gravitation:

$\begin{cases} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{\mathcal{G}} = \vec{0}; \\ \mathrm{div}\vec{\mathcal{G}} = - 4\pi G \rho(\vec{r}) \end{cases}$,

sont de même forme que celle pour le champ électrostatique $\vec{E}$:

$\begin{cases} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E} = \vec{0}; \\ \mathrm{div}\vec{E} = \frac{\mu(\vec{r})}{\epsilon_0} \end{cases}$,

la masse volumique $\rho(\vec{r})$ étant remplacé par la distribution volumique de charge $\mu(\vec{r})$ et $\tfrac{1}{\epsilon_0} \leftrightarrow -4\pi G$. Ainsi la plupart des résultats établis en électrostatique, et en premier lieu le théorème de Gauss, se retrouve dans l'étude du champ de gravitation.

Potentiel et champ à grande distance : développement multipolaire

Les formes intégrales du potentiel et du du champ gravitationnels créés par un distribution quelconque de matière ne sont généralement pas facilement utilisables directement du fait de la complexité des calculs. Il est cependant possible d'exprimer le potentiel gravitationnel créé à l'extérieur de la distribution sous la forme d'une somme de termes d'ordre croissant du paramètre sans dimension $x'=\frac{r'}{r}$, appelé développement multipolaire.

Expression générale du développement multipolaire pour le potentiel gravitationnel

Dans l'expression intégrale du potentiel gravitationnel:

$\Phi(\vec{r})=\iiint_{(V)} -\frac{G\rho(\vec{r}\,')dV'}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}$,

il est possible de réécrire le terme en $\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}$ sous la forme:

$\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}=\frac{1}{\left(r^2+r\,'^2-2\vec{r}\cdot\vec{r}\,'\right)^{1/2}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\left(1+x\,'^2-2x\,'\cos\theta'\right)^{1/2}}$, où $x'=\frac{r\,'}{r}$ et $\theta'$ est l'angle entre $\vec{r}\,'$ et $\vec{r}$.

Dans le cas où le point P où le potentiel est exprimé est situé en dehors de la distribution, $x\,' < 1$ et la racine carrée au dénominateur n'est autre que la fonction génératrice des polynômes de Legendre, par suite il vient:

$\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}\,'\|}=\frac{1}{r}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{r\,'}{r}\right)^k P_k\left(\cos\theta\,'\right)$,

et par suite le potentiel gravitationnel $\Phi(\vec{r})$ s'écrit sous la forme du développement suivant, dit multipolaire:

$\Phi(\vec{r})=\frac{-G}{r}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{r^k}\left[\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')r\,'^k P_k(\cos\theta\,')\,dV\,'\right]\right)$,

soit encore en isolant le terme d'ordre 0 en k:

$\Phi(\vec{r}\,')=\frac{-GM}{r}-G\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')r\,'^k P_k(\cos\theta\,')\,dV\,'}{r^{k+1}}=\frac{-GM}{r}+\sum_{k=1}^{\infty}\phi^{(k)}(\vec{r})$,

où il a été tenu compte du fait que $\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')\,dV' = M$, masse totale de la distribution, et il a été posé:

$\phi^{(k)}(\vec{r})=\frac{\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')r\,'^k P_k(\cos\theta\,')\,dV\,'}{r^{k+1}}$

Le premier terme n'est autre que le potentiel créé par un corps ponctuel en l'origine, ou encore par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en celle-ci: il est appelé terme polaire. Il est important de souligner que contrairement au cas de l'électrostatique, ce terme n'est jamais nul pour une distribution de masse, aussi joue t-il un rôle prépondérant dans tous les cas.

Par ailleurs, dans le cas où la distribution est à symétrie sphérique tous les autres termes sont nuls: en effet dans ce cas il est possible de décomposer l'intégrale dans chacun des termes en partie radiale (en r') et angulaire, et il vient compte tenu du fait que $P_0(\cos\theta\,')=1$:

$\iiint_{(V)} \rho(r\,')r\,'^k dV'=\int \rho'r\,')r\,'^{k+2}\,dr\,'\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,'P_k(\cos\theta\,')\,d\theta\,'\int_{0}^{2\pi}\,d\phi\,'$,

or $\int_{0}^{\pi}P_k(\cos\theta\,')\,d\theta\,'=-\int_{0}^{\pi}P_0(\cos\theta\,')P_k(\cos\theta\,')\,d(\cos\theta\,')=\int_{-1}^{+1}P_0(x')P_k(x')dx'$, où il a été effectué le changement de variable $x'=\cos\theta\,'$. Du fait de la propriété d'orthogonalité des polynômes de Legendre, $\int_{-1}^{+1}P_0(x')P_k(x')dx'=0$ pour $k\ge 1$, par suite pour toute distribution à symétrie sphérique le développement se réduit au seul terme polaire.

Il en résulte que les termes suivants d'ordre $\frac{1}{r^{k+1}}$ en r représentent "l'écart à la sphéricité" de la distribution. Pour k=1 il s'agit du terme dipolaire, pour k=2 du terme quadrupolaire, et de façon générale le terme d'ordre k est dit 2^k-polaire.

Annulation du terme dipolaire

Contrairement à la situation rencontrée en électrostatique, le terme dipolaire peut toujours être rendu nul par un choix approprié de l'origine O. En effet celui-ci se met sous la forme, compte tenu du fait $P_1(\cos\theta\,')=\cos\theta\,'$:

$\phi^{(1)}(\vec{r})=\iiint_{(V)} \frac{\rho(\vec{r}\,')r\,'\cos\theta\,'\,dV'}{r^2}$,

or comme $r\,'\cos\theta\,'=\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}\,'}{r}$ il vient:

$=\frac{\vec{r}}{r}\cdot\left(\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')\vec{r}\,'\,dV'\right)$,

or l'intégrale entre parenthèses correspond à la définition du centre de masse C de la distribution, avec:

$M\overrightarrow{OC}=\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')\vec{r}\,'\,dV'$,

il suffit par suite de choisir pour origine ce centre de masse C, pour avoir $\phi^{(1)}(\vec{r})=0$.

Par suite le développement multipolaire du potentiel gravitationnel avec pour origine le centre de masse de la distribution se met sous la forme: $\Phi(\vec{r}\,')=\frac{-GM}{r} + \phi^{(2)}(\vec{r})+\phi^{(3)}(\vec{r})+...$

Il est intéressant de souligner qu'une telle possibilité d'annuler le terme dipolaire par un simple choix d'origine n'est pas possible pour une distribution de charge électrique: en effet dans ce cas ρ peut être négatif ou positif, et alors il convient de distinguer deux "centres de charge": celui pour les charges positives et celui pour les charges négatives, qui en général ne coïncident pas. Il est donc impossible de choisir une origine particulière annulant le terme dipolaire électrique.

Développement à grande distance du potentiel gravitationnel - Moment quadrupolaire

Pour la plupart des corps céleste de masse suffisante la distribution de masse est pratiquement à symétrie sphérique . Par ailleurs les différents termes 2^k-polaires décroissent rapidement avec k, et à grande distance (r>>r') il est possible de ne conserver que le premier terme non nul, soit le terme quadrupolaire:

$\Phi(\vec{r})\approx \frac{-GM}{r}+\phi^{(2)}(\vec{r})+\mathcal{O}(\frac{1}{r^4})$.

Par suite le terme $\phi^{(2)}(\vec{r})$ représente à grande distance l'écart à la sphéricité du potentiel gravitationnel créé par la distribution. Ce terme peut s'exprimer sous une forme faisant intervenir un tenseur symétrique d'ordre deux, le moment quadrupolaire de la distribution. Compte tenu de $P_2(\cos\theta\,')=\tfrac{1}{2}(3\cos^2\theta\,'-1)$ et que $r\,'\cos\theta\,'=\tfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}\,'}{r}$ le terme quadrupolaire peut s'écrire:

$\phi^{(2)}(\vec{r})=\frac{-G}{2r^3}\iint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')r\,'^2(3\cos^2\theta\,'-1)dV'=\frac{-G}{2r^5}\left(\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')\left[3(\vec{r}\cdot\vec{r}\,')^2-r^2\vec{r}\,'^2\right]dV'\right)$

Pour faire apparaître le moment quadrupolaire il convient d'adopter la notation tensorielle pour les composantes cartésiennes $\vec{r}$ et $\vec{r}\,'$ en posant $\vec{r} = (x_1,x_2,x_3)$ et $\vec{r}\,'=(x_1',x_2',x_3')$. Par ailleurs, pour simplifier l'écriture il est possible d'utiliser la convention d'Einstein, où la sommation est sous entendu sur les indices répétés, ainsi $\vec{r}\,'^2=\sum_{i=1}^{3} x_i'^2=x_i'x_i'$. L'expression entre crochets dans l'intégrande s'écrit alors :

$\left[3(\vec{r}\cdot\vec{r}\,')^2-r^2\vec{r}\,'^2\right]=3(x_ix_i')(x_jx_j')-(x_ix_i(x_j'x_j')=3T_{ij}\,'x_ix_j-\delta_{ij}T_{ij}\,'x_ix_j$,

où $T_{_ij}\,'=x_i\,'x_j\,'$ sont les composantes du produit tensoriel de $\vec{r}\,'$ par lui-même et $\delta_{ij}$ celles du tenseur de Kronecker défini par:

$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 \text{ si } i=j \\ 0 \text{ si } i\neq j\end{cases}$.

Au final, il vient:

$\phi^{(2)}(\vec{r})=\frac{-G\vec{r}\cdot\left(\bar{\bar{Q}}\vec{r}\right)}{2r^5}$,

où $\bar{\bar{Q}}$ est le tenseur symétrique d'ordre deux de composantes $Q_{ij}=\iiint_{(V)} \rho(\vec{r}\,')\left(3x_i'x_j'-\delta_{ij}x_i'^2\right)\,dV'$, appelé moment quadrupolaire de la distribution de masse.

Formule de Mc Cullagh

La valeur du moment quadrupolaire est lié à la distribution de la matière au sein du corps: par suite il existe une relation entre $\bar{\bar{Q}}$ et le tenseur d'inertie $\bar{\bar{I}}$ du corps, qui traduit également la géométrie des masses au sein du corps.

Le tenseur d'inertie à pour composantes $I_{ij}=\iiint_{(V)}\rho(\vec{r}\,')\left(\delta_{ij}x_i'^2-x_i'x_j'\right)\,dV'$, par suite il vient en comparant les deux expressions:

$Q_{ij}=I_{ii}\delta_{ij}-3I_{ij}$, $I_{ii}$ désignant la trace du tenseur d'inertie, soit la somme de ces termes diagonaux^,, soit encore sous forme intrinsèque $\bar{\bar{Q}}=\mathbf{Tr}(\bar{\bar{I}})-3\bar{\bar{I}}$, avec $\mathbf{Tr}(\bar{\bar{I}})$ désignant la trace du tenseur d'inertie multiplié par la matrice unité.

Par suite le terme quadrupolaire s'écrit:

$\phi^{(2)}(\vec{r})=\frac{-G}{2r^5}\left(r^2 Tr(\bar{\bar{I}}) - 3\vec{r}\cdot(\bar{\bar{I}}\vec{r}\right)$, or il est possible d'introduire le moment d'inertie de la distribution de masse par rapport à la direction de $\vec{r}$, donné par $I_r=\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)\cdot(\bar{\bar{I}}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right))$, il vient alors la formule dite de Mc Cullagh:

$\phi^{(2)}(\vec{r})=\frac{G}{2r^3}\left[3I_r - Tr(\bar{\bar{I}})\right]$,

qui peut aussi s'écrire en introduisant les moments principaux d'inertie du corps, c'est-à-dire les composantes de $\bar{\bar{I}}$ dans où il est diagonal (et où donc le moment quadrupolaire $\bar{\bar{Q}}$ l'est aussi), notés $I_1,I_2,I_3$, et tels que $Tr(\bar{\bar{I}})=I_1+I_2+I_3$:

$\phi^{(2)}(\vec{r})=\frac{G}{2r^3}\left[3I_r-(I_1+I_2+I_3)\right]$.

Il convient de souligner que dans le cas d'un corps pour laquelle la distribution des masses est à symétrie sphérique, tout axe passant par le centre géométrique du corps est axe principal d'inertie et tous les moments principaux d'inertie sont égaux, ce qui annule le terme entre crochets, comme cela était attendu.

Au final, le potentiel gravitationnel à grande distance d'un corps de masse M s'écrit, en prenant pour origine son centre de masse:

$\Phi(\vec{r})\approx \frac{-GM}{r}+\frac{G\left[3I_r-(I_1+I_2+I_3)\right]}{2r^3}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{r^4}\right)$

Bibliographie

• Pérez, Mécanique - Fondements et applications, 4ème édition, Masson Sciences, Paris, 2001 (pour une introduction élémentaire).
• Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions] en particulier le §99.
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr., John L. Safko, Classical mechanics [détail des éditions], en particulier le chapitre 5.
• Dominique Lecourt et Thomas Bourgeois, Dictionnaire d'histoire et philosophie des sciences, Presses universitaires de France - PUF, coll. « Quadrige Dicos Poche », 2006, 4^e éd. (ISBN 978-2130544999)  On y trouve, entre autres, l'article « Champ », rédigé par M^me Françoise Balibar.