Courbure scalaire

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En géométrie différentielle, la courbure scalaire (ou courbure de Ricci, ou scalaire de Ricci) est l'outil le plus simple pour décrire la courbure d'une variété riemannienne. Il assigne à chaque point d'une variété riemannienne un simple nombre réel caractérisant la courbure intrinsèque de la variété en ce point.

Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension ≥ 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres outils sont nécessaires.

La courbure scalaire, habituellement dénotée R est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique.

R = \mbox{tr}_g\,Ric

On peut aussi écrire

R  = g^{ij}R_{ij},

avec

Ric = R_{ij}\,dx^i\otimes dx^j

Scalaire de Ricci en deux dimensions et en coordonnées de Riemann[modifier | modifier le code]

Le scalaire de Ricci R ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface[1] :

\left. R = g^{mm} R_{mm} =  g^{xx} R_{xx} +g^{yy} R_{yy}\right.

En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann R_{xyxy} et de Ricci de composantes R_{xx} et R_{yy} qui s'écrit alors, en deux dimensions[2] :

R_{xx} = g^{yy}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}
R_{yy} =g^{xx}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}

on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss:

R = g^{xx}\frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}+g^{yy}\frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}=\frac{2}{g_{xx}g_{yy}}R_{xyxy}=2K

En deux dimensions, c’est-à-dire pour une surface, le scalaire de Ricci est le double de la courbure de Gauss K (au signe près selon la convention utilisée).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En toute rigueur on devrait utiliser ici u et v au lieu de x et y car il s'agit de coordonnées de Gauss (voir Tenseur de Riemann)
  2. Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Hakim, R, Gravitation relativiste, EDP Sciences, 2001

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Lien externe[modifier | modifier le code]

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