Polynôme de Legendre

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Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de Legendre, et constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux.

Équation de Legendre

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On appelle équation de Legendre l'équation : $\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}]+n(n+1)y=0$

On définit ainsi le polynôme de Legendre $P_n$ (pour tout entier naturel n) :

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}]+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.$

On a donc $P_n=P_n^{(0,0)}$, où $P_n^{(\alpha,\beta)}$ désigne le polynôme de Jacobi d'indice n associé aux paramètres α et β.

Cette équation est naturellement liée à l'équation de Laplace $\Delta \psi \ = \ 0$ lorsque dans celle-ci, écrite en coordonnées sphériques, l'on cherche une solution sous la forme d'un produit de deux fonctions A et B, la première ne dépendant que de ρ et la seconde ne dépendant que de θ. Dans l'équation vérifiée par B ainsi obtenue, si l'on pose x=cos(θ) et y(x)=B(θ), y est une fonction de x solution de l'équation de Legendre.

Autres définitions

Formule de récurrence de Bonnet

$P_0(x)=1,\ P_1(x)=x,$ et pour tout entier n>0

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x).\,$

Formule de Rodrigues

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On définit le polynôme $P_n$ (pour tout entier naturel n) par :

$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{\textrm{d}^n}{\textrm{d}x^n}\left((x^2-1)^n\right)$

Définition analytique

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

$\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n.$

Le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

$P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}z^{-n-1}\textrm{d}z$

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}$

(on en déduit $P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n} \,$)

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}$

Quelques polynômes

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre

• $P_{0}(x)=1 \,$
• $P_{1}(x)=x\,$
• $P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,$
• $P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,$
• $P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
• $P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
• $P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
• $P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
• $P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
• $P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
• $P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

Propriétés

Degré

Le polynôme $P_n$ est de degré n.

Base

La famille $(P_n)_{n\leq N}$ étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel $\R_N[X]$.

Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

$P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).\,$

(en particulier, $P_n(-1)=(-1)^n$ et $P_{2n+1}(0)=0$).

Orthogonalité

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ défini sur $\R[X]$ par la relation :

$\langle P,Q\rangle= \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, \mathrm{d}x$

$\langle P_m,P_n\rangle= \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n$

Démonstration

La définition même de $P_n$ montre qu'il s'agit d'un vecteur propre pour la valeur propre -n(n+1) de l'endomorphisme:

• $P \in \R[X] \to u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}]$

Or cet endomorphisme est symétrique pour le produit scalaire précédent, puisqu'une intégration par parties montre que

• $\langle u(P),Q\rangle= \int_{-1}^{+1} u(P)(x) Q(x)\, \mathrm{d}x = - \int_{-1}^{+1} (1-x^2) P'(x) Q'(x)\, \mathrm{d}x = \langle P,u(Q)\rangle$.

Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale.

De plus, comme $(P_n)_{n\leq N}$ est une base de $\R_N[X]$, on a $P_{N+1} \in (\R_N[X])^\bot$, c'est-à-dire :

$\forall Q \in \R_N[X], \int_{-1}^{1} P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0$

Norme

Le carré de la norme, dans L²([-1,1]), est

$\|P_n\|^2=\frac{2}{2n+1}.$

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

$P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_n, \,$

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, $P'_{k-1}$ est de degré k-2<k donc est orthogonal à $P_k$, et en effectuant une intégration par parties) :

$\langle P_n,(2n+1)P_n\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}\rangle =[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_n,P_{n+1}\rangle=[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.$

Comme $P_nP_{n+1}$ est impair et pour tout k, $P_k(1)=1$, on aboutit ainsi à $(2n+1)\|P_n\|^2=2.$

Théorème d'addition

Si $0\le \psi_1 < \pi$, $0\le \psi_2 < \pi$, $\psi_1 + \psi_2 < \pi$ et $\phi$ un réel quelconque, alors

$P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,$

ce qui est équivalent à

$P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.$

On a aussi

$Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi$

sous l'hypothèse que $0\le \psi_1 < \pi/2$, $0\le \psi_2 < \pi$, $\psi_1 + \psi_2 < \pi$, $\phi$

Décomposition en série de polynômes de Legendre

Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformement à l'intérieur de l'ellipse:

$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)$

avec $\forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.$

Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note $\tilde{P_n}$ le quotient du polynôme $P_n$ par sa norme.

Soit $f$ une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

$c_n(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,$

Alors la suite $c_n(f)\,$ est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de $f$ sur $\R_n[X]$ :

$S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.$

On a de plus :

1. $\forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy$, avec $K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y} ;$
2. $S_nf(x)-f(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy.$

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :^{[réf. souhaitée]}

$\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).$

autrement dit, l'égalité

$f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n$

est vraie non seulement au sens L² mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.

Intégration numérique d'une fonction

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

$\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

avec :

• $(x_i)_{i \leq n}$ l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre $P_n$
• $(\omega_i)_{i \leq n}$ les poids respectifs : $w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)}$

En particulier, la formule à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n-1.

Note et références

Références

• J. Kampe de Feriet, Fonctions de la physique mathématique, CNRS, 1957
• [PDF] Sujet de CAPES 1989

Voir aussi

Articles connexes

• Polynômes orthogonaux
• Harmoniques sphériques
• Mesures secondaires
• Fonction de Legendre (en)

Bibliographie

• (en) I.S. Gradshteyn et I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6^e édition - 2000) (ISBN 0-12-294757-6). Errata sur le site web des éditeurs : www.mathtable.com
• De Nockere, Tables numériques des polynômes de Legendre, ARB (8e edition - 1949 ), Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique