Vecteur de Poynting

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Un circuit de courant continu constitué d'une batterie (V) et d'une résistance (R) indiquant la direction du vecteur de Poynting (S, bleu) dans l'espace qui l'entoure, ainsi que les champs qu'il est dérivé de; le champ électrique (E, rouge) et le champ magnétique (H, vert). Dans la région autour de la batterie le vecteur Poynting est dirigé vers l'extérieur, ce qui indique la puissance sortant de la batterie dans les champs; dans la région autour de la résistance du vecteur est dirigée vers l'intérieur, ce qui indique la puissance de champ circulant dans la résistance. À travers n'importe quel plan P, entre la batterie et la résistance, le flux de Poynting est dans le sens de la résistance.

Le vecteur de Poynting, noté , , ou indique, dans un milieu isotrope, la direction de propagation d'une onde électromagnétique. Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface (fermée ou non) est égal à la puissance véhiculée par l'onde à travers cette surface.

Le module de ce vecteur est donc une puissance par unité de surface, c'est-à-dire un flux d'énergie, et s'exprime en watt par mètre carré[1].

Expression générale du vecteur de Poynting[modifier | modifier le code]

Soient E et B le champ électrique et le champ magnétique. Alors, le vecteur de Poynting est défini par :

,

μ0 est la perméabilité du vide. Dans un matériau de perméabilité magnétique μ quelconque, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique H définie par la relation B = μ H. L'expression plus générale du vecteur de Poynting est donc :

.

Moyenne temporelle en notation complexe[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a et . On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs et en posant (avec le nombre complexe tel que ) :

et

.


La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

, où désigne le conjugué de .

Puissance électromagnétique traversant une surface [modifier | modifier le code]

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

Équation de l'énergie d'un champ électromagnétique[modifier | modifier le code]

Soit l'énergie du champ électromagnétique :

avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume pendant un temps  :

Soit , vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence) on peut dire que le flux sortant du volume V est :

avec vecteur normal à la surface. du volume, orienté vers l'extérieur

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

  • Pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule).
  • Pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

+ travail fourni par le champ à la matière

Calculons ce travail :

(on voit facilement que la force magnétique ne travaille pas.)

Passons à la puissance fournie par le champ :

pour une charge.

On est dans le cas de N charges :

or

donc

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

Donc finalement on a :

équation de l'énergie du champ électromagnétique

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Michel Dubesset, Le manuel du Système international d'unités: lexique et conversions, Éd. Technip, 2000. Lire en ligne

Article connexe[modifier | modifier le code]