Paramagnétisme

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Illustrations d'un échantillon paramagnétique en l'absence de champ magnétique,...
...en présence d'un champ magnétique faible,
...en présence d'un champ magnétique fort.

Le paramagnétisme désigne en magnétisme le comportement d'un milieu matériel qui ne possède pas d'aimantation spontanée mais qui, sous l'effet d'un champ magnétique extérieur, acquiert une aimantation dirigée dans le même sens que ce champ d'excitation. Un matériau paramagnétique possède donc une susceptibilité magnétique de valeur positive (contrairement aux matériaux diamagnétiques), en général assez faible. Cette aimantation disparaît lorsque le champ d'excitation est coupé, il n'y a donc pas de phénomène d'hystérésis comme pour le ferromagnétisme.

Le paramagnétisme ne désigne pas une propriété intrinsèque d'un matériau mais un comportement en réponse à un champ magnétique, comportement qui peut changer selon les conditions considérées. Ainsi, un matériau ferromagnétique devient paramagnétique quand sa température dépasse sa température de Curie.

À l'échelle microscopique, on peut décrire un matériau paramagnétique comme un ensemble de dipôles magnétiques indépendants. La réponse du système à un champ magnétique appliqué est alors déterminée par le rapport de forces entre l'énergie magnétique d'une part qui tend à ordonner les dipôles en les alignant selon le champ appliqué, et l'énergie d'agitation thermique d'autre part qui favorise le désordre. Le traitement de ce problème par la physique statistique permet de démontrer la loi de Curie qui affirme que la susceptibilité magnétique d'un matériau paramagnétique est inversement proportionnelle à la température.


Aspect macroscopique[modifier | modifier le code]

Régime linéaire[modifier | modifier le code]

Pour la plupart des matériaux dits paramagnétiques et sous des conditions raisonnables de température et de champ magnétique extérieur, l'aimantation \vec M du matériau paramagnétique est proportionnelle au champ appliqué \vec H  :

\vec M = \chi_m(T) \vec H

avec \chi_m(T) > 0 qui dépend de la température selon la loi de Curie.

L'aimantation décroît avec la température car celle-ci est le reflet macroscopique de l'agitation thermique des atomes. À noter que \chi_m est en toute rigueur une matrice 3*3 mais se réduit dans la majorité des cas à un nombre scalaire dans le cas des matériaux lhi (linéaire, homogène et isotrope).

Régime saturé[modifier | modifier le code]

Si le champ d'excitation augmente, \vec M ne reste plus proportionnel à \vec H et tend vers une constante \vec M sat quel que soit  \vec H > \vec H sat , on parle alors de saturation.

Ce régime n'est pas observable à température ambiante car la susceptibilité magnétique y étant trop faible, il faudrait un  \vec H sat de 1000 Teslas pour que la saturation du matériau ait lieu.

Ce régime est observable aux basses températures, de l'ordre de quelques kelvins, à partir de champs de 0,5 à 1 Teslas[1].

Paramagnétisme de Langevin[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de Curie.

Paul Langevin a introduit l'idée selon laquelle le moment magnétique d'un corps peut être la somme des moments magnétiques de chaque atome. Toutefois, une augmentation de la température apporte de l'agitation thermique qui entraîne la désorientation des moments magnétiques des atomes, malgré l'influence du champ magnétique extérieur. Paul Langevin explique alors la diminution du paramagnétisme comme une fonction inversement proportionnelle à la température. Ce phénomène est décrit par la loi de Curie : C est la constante de Curie du matériau est définie par :

C = \frac{\mu_0N m_0^2}{3k_B}

N est le nombre de moments magnétiques à considérer, m_0 est un moment magnétique individuel et k_B est la constante de Boltzmann.

Démonstration :

On peut représenter un matériau paramagnétique par un ensemble de N sites portant un moment \vec m de norme m_0 avec m = m_0 \cos(\theta), avec \theta l'angle entre la direction du moment initial et celle du champ magnétique H appliqué (Considéré selon l'axe e_z par la suite).

On rappelle que pour un matériau paramagnétique les moments \vec m sont orientés de manière aléatoire (<m> = 0).

On note l'aimantation par unité de volume <M_z> = N <m_z>.

De plus l'aimantation à saturation vaut M_s = N m_0. Pour pouvoir utiliser la statistique de Boltzmann on introduit l'énergie magnétique

E_m = -\vec m \cdot \vec B = -m_0 \cos(\theta) \mu_0 H

avec H le champ magnétique appliqué.

D'après la statistique de Boltzmann :

N<m_z> = N m_0 \;\frac{\displaystyle\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} \cos\theta \exp\left(\dfrac{m_0 \cos\theta \mu_0 H}{k_B T}\right) \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi}{\displaystyle\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi}\exp\left(\dfrac{m_0 \cos\theta \mu_0 H}{k_B T}\right) \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi},

avec k_B la constante de Boltzmann.

Après la résolution de ce calcul on aboutit sur la fonction de Langevin tel que

<M_z> = N m_0 L(x) = M_s L(x)

avec x = \frac{m_0 \mu_0 H}{k_B T}. C'est pourquoi à basse température, il suffit d'appliquer au système quelques tesla pour atteindre la saturation alors qu'à température ambiante (300 K), il faut appliquer des champs magnétiques très importants et difficilement atteignables.

En calculant le développement limité de la fonction de Langevin, L(x) en x \rarr 0, on trouve que

<M_z> = M_s \frac{x}{3}.

On définit la susceptibilité

\chi = \frac{\partial <M_z>}{\partial H} = \frac {\mu_0 N m_0^2}{3k_B T}= \frac{C}{T}

avec C = \frac{\mu_0 N m_0^2}{3k_B} la constante de Curie. (c.f Loi de Curie)

Modèle quantique[modifier | modifier le code]

Dans le modèle quantique, on ne considère plus un continuum de valeurs pour le moment magnétique m, mais on considère qu'il prend des valeurs discrètes :

-J \le m_J \le +J. On a ainsi \vec{m} = -g.\mu_B.m_J avec \mu_B le Magnéton de Bohr et g le facteur de Landé

On a donc <M_z> = N.<m_z> = N.\sum\limits_{m_j=-J}^{J}-g.\mu_b.m_j

De manière analogue au modèle de Langevin on pose E_m=-\vec \mu.\vec B = g.\mu_b.m_j.B

<M_z> = \dfrac{N.\sum\limits_{m_j=-J}^{J}-g.\mu_b.m_j.e^{-E_m/k_b.T}}{\sum\limits_{m_j=-J}^{J}e^{-E_m/k_b.T}} = N.g.\mu_b.J.\dfrac{\sum\limits_{m_j=-J}^{J}-\dfrac{m_J}{J}.e^{-x.m_J/J}}{\sum\limits_{m_j=-J}^{J}e^{-x.m_J/J}} , avec x = \dfrac{g.\mu_b.J.B}{k_b.T}

Sachant que la plus forte valeur possible de <m_z> à fort champs magnétique est g.\mu_b.J, on a M_s = N.g.\mu_b.J.

On peut donc écrire que, <M_z> = M_s.\dfrac{\part F(x)/\part x}{F(x)}, avec F(x) = \sum\limits_{m_j=-J}^{J}e^{\dfrac{-m_J}{J}.x}

C'est la somme d'une progression géométrique qui vaut F(x) = \dfrac{sh(\dfrac{2J+1}{2J}.x)}{sh(\dfrac{x}{2J})} .

On en déduit que <M_z> = M_s.B_J(x) , où B_J(x) est la fonction de Brillouin B_J (x) = \frac{2J+1}{2J} coth \left( \frac{2J+1}{2J}x \right) - \frac{1}{2J} coth \left( \frac{x}{2J} \right)

En utilisant le développement limité coth(x) = 1/x quand x \rarr \infty , on montre facilement que B_J(x) tend vers la fonction de Langevin lorsque J \rarr \infty. On a donc le modèle quantique qui tend vers le modèle classique lorsque J \rarr \infty , ce qui est cohérent puisque cela revient à avoir un continuum d'états.

On peut calculer la susceptibilité initiale de la fonction de Brillouin en utilisant le développement limité de coth(x) = \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{3} quand x \rarr 0 , on a alors B_J(x) = \dfrac{J+1}{3J}x

On a donc <M_z> = M_s.\dfrac{J+1}{3J}x = \dfrac{\mu_0.N.g^2.J(J+1).\mu_b^2}{3k_b.T}H lorsque le champ magnétique est faible.

La susceptibilité initiale peut donc se mettre sous la forme \chi = \frac {\partial <M_z>} {\partial H}  = \dfrac{C}{T} , avec C = \dfrac{\mu_0.N.g^2.J(J+1).\mu_b^2}{3k_b}

On avait trouvé dans le modèle classique C = \dfrac{\mu_0.N.m_0^2}{3k_b} , par analogie on écrit dans le cas du modèle quantique C = \dfrac{\mu_0.N.\mu_{eff}^2}{3k_b} , avec \mu_{eff} = g.\mu_b.\sqrt{J(J+1)}

On rappelle que pour un moment électronique le facteur de Landé vaut g = g_J \approx 1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)} , avec J, L et S des nombres quantiques correspondant au moment cinétique électronique, moment cinétique orbitale et spin électronique (J= S+L)


Moment magnétique des électrons de conduction : paramagnétisme de Pauli[modifier | modifier le code]

Dans un métal les électrons de conduction peuvent se déplacer presque librement, ils sont très faiblement liées aux atomes du métal (par exemple Modèle de Drude). Comme les électrons possèdent un moment magnétique de spin, on attend alors un apport à la susceptibilité, qui est similaire à la loi de Curie. Les électrons étant des fermions, ils doivent alors vérifier le principe de Pauli, et on observe la loi suivante :

\chi_\mathrm{Pauli}\sim\frac{C}{T}\cdot\frac{T}{T_\mathrm{F}}=\frac{C}{T_\mathrm{F}},

T_\mathrm{F} est une constante du matériaux.

Pour être plus précis, on peut démontrer qu'il existe une dépendance de la force du champ magnétique.

Matériaux paramagnétiques[modifier | modifier le code]

Quelques métaux paramagnétiques typiques (20 °C) [2]
Material χm x 10-5
Tungstène 6.8
Césium 5.1
Aluminium 2.2
Lithium 1.4
Magnésium 1.2
Sodium 0.72

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Charles Kittel, *Introduction to Solid State Physics, 1st ed. 1953 - 8th ed. 2005, ISBN 0-471-41526-X
  2. (en) Carl L. Nave, « Magnetic Properties of Solids », HyperPhysics (consulté le 9 novembre 2008)
  3. « Expérience: paramagnétisme du dioxygène liquide » (consulté le 10 janvier 2011)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »],‎ [détail des éditions]
  • L. P. Lévy, Magnétisme et Supraconductivité (EDP Sciences)
  • Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 8 : Électrodynamique des milieux continus [détail des éditions]
  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Physique des solides [détail des éditions]
  • John David Jackson, Électrodynamique classique [« trad. de (en) Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
  • Étienne du Trémolet de Lacheisserie , Magnétisme I (Fondements) et Magnétisme II (Matériaux et applications)

Lien externe[modifier | modifier le code]