Conjugué

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Conjugaison (homonymie).

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Définition[modifier | modifier le code]

Le conjugué d'un nombre complexe , où a et b sont nombres réels, est noté[1],[2] ou .

Dans le plan, le point d'affixe est le symétrique du point d'affixe par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un isomorphisme de corps de ℂ dans lui-même.

Propriétés[modifier | modifier le code]

On prend .

  • si w est non nul
  • si alors
  • pour z non nul.

Quaternions[modifier | modifier le code]

Le conjugué du quaternion est .

Propriété[modifier | modifier le code]

  • On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire[modifier | modifier le code]

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leur éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Norme ISO 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
  2. z se lit « z barre ».