Conjugué

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Conjugaison (homonymie).

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Définition[modifier | modifier le code]

Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi\,, où a et b sont réels, est noté \bar z = a - bi\, (lu « z barre ») ou parfois z^*\,, notation recommandée par la norme ISO 31-11.

Dans le plan, le point d'affixe \bar z est le symétrique du point d'affixe z\, par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C}  \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}

La conjugaison est une opération linéaire qui est de plus continue. C'est de plus un automorphisme de corps de \mathbb{C} dans lui-même.

Propriétés[modifier | modifier le code]

On prend (z,w)\in \mathbb{C} ^2.

  • \overline{z+w} = \bar z + \bar w
  • \overline{zw} = \bar z \times \bar w
  • \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w} si w\, est non nul
  • si \operatorname{Im}\left(z\right) = 0 alors \bar z = z
  • \left|\bar z\right| = \left|z\right|
  • z \overline{z} = \left|z\right|^2
  • z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}} pour z non-nul.

Quaternions[modifier | modifier le code]

Le conjugué du quaternion q = a + bi + cj + dk\, est q^* = a - bi - cj - dk\,.

Propriété[modifier | modifier le code]

  • q\cdot q^* = a^2+b^2+c^2+d^2\,
  • \frac{1}{q} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^*\,
  • On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire[modifier | modifier le code]

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leur éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.