Théorème de Poynting

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Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

-\iiint\frac{\partial W_{em} }{\partial t} \,\mathrm{d}\tau = \iiint\mathrm{div}\vec\Pi\cdot{\,\mathrm{d}\tau} + \iiint\vec{\jmath}\cdot\vec{E}{\,\mathrm{d}\tau}

soit, sous forme locale, pour un volume d\tau

-\frac{\partial}{\partial t}\left (\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\right ) = \mathrm{div} \left ( \frac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_{0}}\right ) + \vec{j}\cdot\vec{E}

soit dans le cas général

-\frac{\partial}{\partial t}\left (\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2} + \frac{\vec{B}\cdot\vec{H}}{2}\right ) = \mathrm{div} \left ( \vec{E}\wedge \vec{H}\right ) + \vec{j}\cdot\vec{E}

avec:

  • \vec\Pi, vecteur de Poynting
  • \vec{E}, champ électrique
  • \vec{D}, induction électrique (ou déplacement électrique)
  • \vec{B}, champ magnétique
  • \vec{H}, excitation magnétique
  • \vec{j}, densité de courant
  • \varepsilon_{0}, permittivité du vide
  • \mu_{0}, perméabilité du vide


En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

Démonstration à partir des équations de Maxwell[modifier | modifier le code]

On part de la forme différentielle, dans le cas où les relations \vec{D} = \varepsilon_0 \vec E et \vec{B} = \mu_0 \vec H sont vérifiées. Alors

 \mathrm{div}\; \vec\Pi = \mathrm{div}\; \frac{\vec E \times \vec B}{\mu_0} = -\frac{1}{\mu_0} \vec E\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\; \vec B + \frac{1}{\mu_0} \vec B\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\; \vec E en utilisant la formule d'analyse vectorielle \vec A \cdot \left(\vec B \times \vec C\right) =  \vec C \cdot \left(\vec A \times \vec B\right) - \vec B \cdot \left(\vec A \times \vec C\right)
 \mathrm{div}\; \vec \Pi = -\frac{1}{\mu_0} \vec E\cdot\left( \mu_0 \vec j + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right) + \frac{1}{\mu_0} \vec B\cdot\left( -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\right ) en utilisant les équations de Maxwell - Ampère et Maxwell - Faraday.

Soit après simplification :

 \mathrm{div}\; \vec \Pi = -\; \vec j \cdot\vec E - \varepsilon_0 \vec E\cdot\frac{\partial \vec E}{\partial t} - \frac{1}{\mu_0} \vec B\cdot\frac{\partial \vec B}{\partial t}
 \mathrm{div}\; \vec \Pi = -\; \vec j \cdot\vec E - \frac{\partial u}{\partial t}

avec u={\frac  {\varepsilon _{{0}}{\vec  E}^{{2}}}{2}}+{\frac  {{\vec  B}^{{2}}}{2\mu _{{0}}}} la densité volumique d'énergie électromagnétique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]