Loi de Lenz-Faraday

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En physique, la loi de Lenz-Faraday, ou loi de Faraday, permet de rendre compte des phénomènes macroscopiques d'induction électromagnétique. Fondée sur les travaux de Michael Faraday en 1831, et sur l'énoncé de Heinrich Lenz de 1834, elle est aujourd'hui déduite de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

Il s'agit d'une loi de modération, ce qui signifie qu'elle décrit des effets qui s'opposent à leurs causes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Cas d'un circuit immobile[modifier | modifier le code]

Le circuit orienté C délimitant une surface ouverte S de normale unité \mathbf{n} est traversé par un champ magnétique \mathbf{B}.

La forme intégrale, historique, de la loi de Lenz-Faraday était au départ empirique. Un circuit  C immobile soumis à un flux magnétique  \Phi (issu d'un champ magnétique  \mathbf{B}) variable est le siège d'une force électromotrice  \varepsilon telle que :

\quad (1) \qquad \varepsilon = - \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm dt}

 \varepsilon = \oint_{C}\vec{E} \cdot \, \mathrm d \vec{\ell} est la circulation du champ électrique  \vec{E} induit par cette variation de flux magnétique  \Phi = \iint_S \vec{B} \cdot \vec{n} \, \mathrm dS. Ou encore, puisque le circuit (et la surface S) est fixe :

 \quad (1')  \qquad \oint_{C}\vec{E} \cdot \, \mathrm d \vec{\ell}=-\iint_S \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{n} \, \mathrm dS

Notons que le signe du flux dépend du choix d'un sens d'orientation dans le circuit  C et sur la surface  S. La normale  \vec{n} à la surface  S est généralement choisie de telle sorte qu'un courant positif (circulant dans le sens choisi pour le circuit  C) créé un champ magnétique à flux positif ( \vec{n} orienté dans le sens de \vec B) . Le signe (-) ne dépend pas du choix qui est fait. Remarquons également que le champ E (champ électrique induit) n'est pas à circulation conservative, le flux de B n'étant généralement pas nul (en régime variable : B varie avec le temps), contrairement à la circulation du champ électrostatique. L'introduction du potentiel-vecteur \vec A défini par \vec B=\vec{rot}\vec A permet de montrer que le champ \vec E+\frac{\partial\vec A}{\partial t} est quant à lui à circulation conservative (conséquence de l'équation de Maxwell-Faraday, voir plus bas).

Interprétation du signe : loi de Lenz[modifier | modifier le code]

Le signe « - » présent dans cette loi exprime la loi de Lenz, selon laquelle le courant induit i (relié à la force électromotrice induite par la loi \varepsilon=R i en "convention récepteur", où  R est la résistance du circuit, grandeur positive) a une orientation telle qu'il s'oppose à la variation du flux magnétique qui lui donne naissance. Pour illustrer ceci, supposons que \Phi(t) augmente, entrainant une force électromotrice négative qui génère un courant électrique induit négatif, c'est-à-dire circulant dans le sens opposé à l'orientation choisie. Ainsi le champ magnétique associé au courant induit produit un flux négatif à travers la surface  S tendant donc à s'opposer à l'augmentation originale du flux magnétique. Le raisonnement reste le même si on suppose une diminution du flux magnétique, ou si l'on choisit une convention opposée pour le signe du flux par rapport à celui du courant ou le signe de la tension par rapport au courant. La loi de Lenz est naturellement indépendante d'une convention de signe.

Cas d'un circuit mobile[modifier | modifier le code]

Considérons à présent la loi de Faraday pour un circuit  C en mouvement à la vitesse \vec{v} mesurée dans le référentiel du laboratoire. Il faut remarquer[1] que le champ électrique associé à la force électromotrice induite \varepsilon est le champ (noté \vec{E'}) en \mathrm d \vec{\ell} dans le référentiel lié au circuit C (ie\mathrm d \vec{\ell} "est au repos"), car c'est ce champ électrique \vec{E'} qui est responsable de l'apparition du courant induit.

En remarquant que la dérivée totale du flux magnétique s'écrit[1] :

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \vec{B}\cdot\vec{n}\, \mathrm dS = \iint_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\vec{n}\, \mathrm dS + \oint_C (\vec{B} \wedge \vec{v})\cdot \mathrm d \vec{\ell}

la loi de Faraday prend alors la forme suivante:

\quad (2) \qquad \varepsilon = -\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \vec{B}\cdot\vec{n}\, \mathrm dS = - \iint_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\vec{n}\, \mathrm dS + \oint_{C}\vec{v} \wedge \vec{B} \cdot \, \mathrm d \vec{\ell}
\varepsilon =\oint_{C}\vec{E'} \cdot \, \mathrm d \vec{\ell}

On remarque le terme supplémentaire par rapport à l'équation (1'), dépendant de la vitesse relative du circuit par rapport à l'observateur, dans une forme qui est celle du travail de la force de Lorentz. On trouvera une autre façon tout aussi intéressante de présenter le cas des circuits mobiles dans la réference [2].

Forme locale[modifier | modifier le code]

Dans sa forme locale, due à James Clerk Maxwell, on peut l'écrire :

\vec{\nabla} \wedge \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

avec \vec{E} le champ électrique, \vec{B} le champ d'induction magnétique et \vec{\nabla} l'opérateur formel nabla, qui calcule ici le rotationnel du champ \vec{E}. Cette relation est appelée équation de Maxwell-Faraday, ou équation locale de Faraday.

La forme locale, qui constitue l'une des quatre équations de Maxwell est posée comme postulat de l'électromagnétisme. Néanmoins, il est possible de vérifier que les deux formes, intégrale et locale, sont équivalentes. Posant comme point de départ la forme intégrale, on peut montrer la forme locale, et réciproquement.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Les variations de flux de B à travers la surface Σ créent un champ électrique induit dont la circulation le long du contour Γ est la tension induite e. n est la normale à la surface Σ.

Soit \Sigma une surface immobile quelconque de l'espace {\mathbb{R}}^3, de normale \vec n. Cette surface est traversée par un champ magnétique dont on suppose la cause extérieure. Le flux de \vec B à travers \Sigma est :

\Phi = \iint_\Sigma \vec  B \cdot \vec  n \, \mathrm d\Sigma

De plus, la force électromotrice e est égale à la circulation du champ électrique sur le contour \Gamma de Σ :

e = \oint_{\Gamma}\vec E \cdot \, \mathrm d \vec \ell

D'après le théorème de Stokes, on a :

e = \iint_{\Sigma} \left( \vec {\nabla} \wedge \vec E \right) \cdot \vec n \, \mathrm d\Sigma

Ainsi, la loi de Lenz-Faraday, qui s'écrit :

e = - \frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}

donne lieu à l'égalité suivante :

 e = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}{\iint_\Sigma\vec B \cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma} = - {\iint_\Sigma\frac{\partial}{\partial t}\vec B\cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma}

Nous avons maintenant deux expressions intégrales de e, celles-ci étant valables quelle que soit la surface Σ, les intégrandes sont égaux, et on a :

\vec {\nabla} \wedge \vec{E} = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

qui n'est autre que l'équation de Maxwell-Faraday, et que l'on qualifie aussi d'équation locale de Faraday. La démarche exactement inverse montre que, posant cette dernière équation comme postulat, on retrouve la forme intégrale.

Potentiel vecteur et équation de Maxwell-Faraday[modifier | modifier le code]

Le champ \vec E+\frac{\partial\vec A}{\partial t} où E est le champ électrique induit et A le potentiel-vecteur défini par le champ B, est à circulation conservative. En effet,

comme pour un contour C quelconque et une surface \Sigma quelconque s'y appuyant, on a

\Phi = \iint_\Sigma \vec  B \cdot \vec  n \, \mathrm d\Sigma = \iint_\Sigma (\vec{rot}\vec A) \cdot \vec  n \, \mathrm d\Sigma = \oint_C \vec A\cdot\vec{d\ell}

d'après le théorème de Stokes,

dériver cette égalité par rapport au temps et utiliser la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Faraday permet d'obtenir :

\oint_C \vec E\cdot\vec{d\ell} = -\oint_C \frac{\partial\vec A}{\partial t}\vec{d\ell} c'est-à-dire \oint_C (\vec E\cdot+\frac{\partial\vec A}{\partial t})\vec{d\ell}=0

Applications[modifier | modifier le code]

L'induction électromagnétique est un phénomène physique majeur à l'origine de multiples applications industrielles relevant de l'électrotechnique (conversion d'énergie électrique) comme les moteurs électriques et les transformateurs notamment.

La loi de Lenz-Faraday permet également d'interpréter les effets associés aux courants de Foucault.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jackson
  2. J.-P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, Électromagnétisme. Fondements et applications, 3e édition, Masson, Paris, 1997, chapitre 14 (Induction électromagnétique)

Annexes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • [Jackson] John David Jackson (trad. Christian Jeanmougin), Électrodynamique classique, Dunod, coll. « Sciences Sup »,‎ , 880 p. (ISBN 2-10-004411-7)

Liens externes[modifier | modifier le code]