Hélice (géométrie)

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Hélice circulaire avec un pas à droite (A) ou à gauche (B)
Hélice circulaire vue selon plusieurs angles

En géométrie, l'hélice est une courbe dont la tangente en chaque point fait un angle constant avec une direction donnée. On utilise parfois le mot hélice pour l'expression hélice circulaire (voir ci-dessous).

Hélice circulaire[modifier | modifier le code]

Une hélice circulaire est inscrite dans un cylindre. L'axe de ce cylindre est appelé axe de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé rayon de l'hélice.

Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille rectangulaire, tracer un trait sur une diagonale et enrouler la feuille pour former un cylindre d'axe parallèle à son grand ou à son petit côté; le trait dessine une hélice. C'est aussi la forme des ressorts à boudin, des solénoïdes et des filetages et taraudages.

Dans l'espace décrit par le repère orthonormé \ (O,\vec i,\vec j,\vec k), l'hélice circulaire infinie de pas p de rayon R dont l'axe est parallèle à \ \vec k et passe par O, est définie par l'équation paramétrique suivante:

\left \{ \begin{matrix}
x(t) =  R \cdot \cos(2\pi \cdot t) \\
y(t) =  R \cdot \sin(2\pi \cdot t) \\
z(t) =  p \cdot t
\end{matrix} \right .

La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un cercle. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une sinusoïde.

La longueur d'une spire d'une hélice circulaire de rayon R et de pas p vaut :

l = 2\pi\cdot \sqrt{R^2+\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}

Pour obtenir une hélice finie il suffit de faire varier le paramètre t entre deux valeurs (par exemple 0. et 3.)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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