Spirale sinusoïdale

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Quelques cas particuliers de spirales sinusoïdales.

En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :

a est un réel positif et n un réel.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour , fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles , avec k entier.

La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.

Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.

Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.

La longueur de la courbe vaut :

où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :

La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre nn+1.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :

Liens externes[modifier | modifier le code]