Géométrie elliptique

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Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

Une géométrie elliptique est une géométrie non euclidienne. Les axiomes sont identiques à ceux de la géométrie euclidienne à l'exception de l'axiome des parallèles : en géométrie elliptique, étant donnés une droite et un point extérieur à cette droite, il n'existe aucune droite parallèle à cette droite passant par ce point. Il est équivalent de dire que la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180 °.

En fait Giovanni Girolamo Saccheri avait démontré en 1733 que ce résultat est incompatible avec les quatre premiers postulats d'Euclide; la géométrie elliptique doit donc modifier un autre axiome ( qui restait implicite dans l'oeuvre d'Euclide ) stipulant que si trois points sont alignés alors l'un de ces points est entre les deux autres. L'inexistence des parallèles peut alors être déduite de la négation de cet axiome[1]. La géométrie elliptique n'est donc pas une géometrie absolue.

La géométrie sphérique est un modèle important de géométrie elliptique.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Géométrie absolue (en)

Références[modifier | modifier le code]

  1. http://mathemac.free.fr/textes/lobachevski.pdf