Lemniscate de Bernoulli

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La lemniscate de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.

Histoire[modifier | modifier le code]

La lemniscate de Bernoulli fait partie d'une famille de courbes décrite par Jean-Dominique Cassini en 1680, les ovales de Cassini. Jacques Bernoulli la redécouvre en 1694 au détour de travaux sur l'ellipse[1], et la baptise lemniscus (« ruban » en latin). Le problème de la longueur des arcs de la lemniscate est traité par Giulio di Fagnano (en) en 1750.

Définition géométrique[modifier | modifier le code]

Une lemniscate de Bernoulli est l'ensemble des points M vérifiant la relation :

\rm MF\times MF'=OF^2

F et F′ sont deux points fixes et O leur milieu. Les points F et F′ sont appelés les foyers de la lemniscate, et O son centre.

Alternativement, on peut définir une lemniscate de Bernoulli comme l'ensemble des points M vérifiant la relation :

\rm|MF-MF'|=OM\,\sqrt2.

La première relation est appelée « équation bipolaire », et la seconde « équation tripolaire ».

La courbe ainsi définie fait partie de la famille des lemniscates (courbes en forme de 8), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.

Équations dans différents systèmes de coordonnées[modifier | modifier le code]

Au moyen de la demi-distance focale OF = d[modifier | modifier le code]

Posons OF = d. En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OF), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

\rho^2=2d^2\cos{2\theta}~\left(-\tfrac\pi4\le\theta\,[\pi]\le+\tfrac\pi4\right).

En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OF), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :

(x^2+y^2)^2=2d^2\,(x^2-y^2).

L'abscisse x décrit l'intervalle \left[-d\,\sqrt2,d\,\sqrt2\right] (les bornes sont atteintes pour y = 0). L'ordonnée y décrit l'intervalle \left[-\tfrac d2,\tfrac d2\right]~ (les bornes sont atteintes pour x=\pm\,d\,\tfrac\sqrt32 ).

Il est possible d'expliciter y en fonction de x :

y=\pm\,d\,\sqrt{\sqrt{1+4\left(\frac xd\right)^2}-\left[1+\left(\frac xd\right)^2\right]}~~\left(|x|\le d\sqrt2\right)

mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de y.

Représentations paramétriques[modifier | modifier le code]

En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ2 = 2d2cos2θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ :

\begin{cases}x=d\,\cos\theta\,\sqrt{2\cos2\theta}\\
y=d\,\sin\theta\,\sqrt{2\cos2\theta}\end{cases}

Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier θ de –π/4 à +π/4 puis de 5π/4 à 3π/4, une variation qui n'est pas continue ni monotone.

Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :

\begin{cases}x=d\sqrt2\;\dfrac{\sin\varphi}{1+\cos^2\varphi}\\ \\
y=d\sqrt2\;\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{1+\cos^2\varphi}\end{cases}

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier φ de π à +π. Le paramètre φ est directement relié à l'angle polaire par la relation cosφ = tanθ, ou θ = arctan(cosφ).

On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :

\begin{cases}x=d\sqrt2\;\dfrac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\
y=d\sqrt2\;\dfrac{t-t^3}{1+t^4}~.\end{cases}

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier t de –∞ à +∞. Le paramètre t est directement relié à l'angle φ par la relation t = tan(φ/2).

Au moyen du demi-axe OA = a[modifier | modifier le code]

La plupart des équations précédentes sont un peu plus simples et naturelles si l'on pose a=d\,\sqrt2  (demi-axe de la lemniscate).

En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OA), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

\rho^2=a^2\cos{2\theta}~\left(-\tfrac\pi4\le\theta\,[\pi]\le+\tfrac\pi4\right).


En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OA), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :

(x^2+y^2)^2=a^2\,(x^2-y^2).

L'abscisse x décrit l'intervalle [–a, a] (les bornes sont atteintes pour y = 0). L'ordonnée y décrit l'intervalle \left[-\tfrac a{2\sqrt2},\tfrac a{2\sqrt2}\right]~ (les bornes sont atteintes pour x=\pm\,a\,\tfrac\sqrt64 ). La demi-distance focale est \mathrm{OF}=\mathrm{OF'}=\tfrac a\sqrt2.

Il est possible d'expliciter y en fonction de x :

y=\pm\,\frac a\sqrt2\,\sqrt{\sqrt{1+8\left(\frac xa\right)^2}-\left[1+2\left(\frac xa\right)^2\right]}~~(|x|\le a)

mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de y.

Représentations paramétriques[modifier | modifier le code]

En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ2 = a2cos2θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ :

\begin{cases}x=a\,\cos\theta\,\sqrt{\cos2\theta}\\
y=a\,\sin\theta\,\sqrt{\cos2\theta}\end{cases}

Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier θ de –π/4 à +π/4 puis de 5π/4 à 3π/4, une variation qui n'est pas continue ni monotone.

Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :

\begin{cases}x=a\;\dfrac{\sin\varphi}{1+\cos^2\varphi}\\ \\
y=a\;\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{1+\cos^2\varphi}\end{cases}

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier φ de π à +π. Le paramètre φ est directement relié à l'angle polaire par la relation cosφ = tanθ, ou θ = arctan(cosφ).

On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :

\begin{cases}x=a\;\dfrac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\
y=a\;\dfrac{t-t^3}{1+t^4}~.\end{cases}

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier t de –∞ à +∞. Le paramètre t est directement relié à l'angle φ par la relation t = tan(φ/2).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Longueur[modifier | modifier le code]

La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut :

L=\frac{2\pi\,a}{M(1,\sqrt{2})}=4a\int_0^1\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^4}=4\sqrt\pi\,\frac{\operatorname\Gamma(5/4)}{\operatorname\Gamma(3/4)}\,a\simeq5{{,}}24412\,a

M(u,v) désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres u et v, et Γ(w) la fonction gamma appliquée à w. On reconnaît ci-dessus une intégrale elliptique de première espèce.

Superficie[modifier | modifier le code]

L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut :

S=a^2=2d^2.

Familles de courbes[modifier | modifier le code]

La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier d'ovale de Cassini, de lemniscate de Booth, de spirale sinusoïdale et de spirique de Persée.

Relation avec l'hyperbole équilatère[modifier | modifier le code]

La podaire d'une hyperbole équilatère (en bleu) est une lemniscate de Bernoulli (en rouge).

La podaire d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre est une lemniscate de Bernoulli.

Le symbole de l'infini ?[modifier | modifier le code]

La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini, , mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien John Wallis, contemporain de Bernoulli[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate », MathWorld.
  2. John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus (1655), section I, Prop.1, p. 4.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]