Deltoïde (courbe)

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La courbe en rouge est une deltoïde.

La deltoïde n'est autre qu'une hypocycloïde à trois rebroussements. Sa forme ressemble un peu à celle de la lettre grecque delta majuscule, d'où son nom. Cet exemple de roulette fut étudié pour la première fois par Leonhard Euler en 1745.

Équations paramétriques[modifier | modifier le code]

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon , on obtient l'équation paramétrique suivante :

La deltoïde comme enveloppe d'un segment dont les extrémités sont astreintes à suivre la courbe

L'équation cartésienne est de la forme :

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zéro.

Propriétés géométriques[modifier | modifier le code]

Caustique de deltoïde. La source lumineuse étant à l'infini, cette caustique est une astroïde, quelle que soit la direction de la source.
  • La longueur du deltoïde est 16a[1]. L'aire du domaine délimité par le deltoïde est .
  • Une règle dont les deux extrémités sont astreintes à glisser sur la deltoïde vient tangenter la deltoïde en un troisième point : le point de tangence décrit deux fois la deltoïde lorsque les extrémités ne la décrivent qu'une fois.
  • L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (on l’appelle deltoïde de Steiner, ce théorème étant dû à Jakob Steiner).
  • La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne
Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :
courbe qui présente un point double à l'origine dans .
  • La caustique d'un deltoïde, la source lumineuse étant à l'infini, est une astroïde, quelle que soit la direction de la source[2].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jacques Hadamard, On the three-cusped hypocycloid, Mathematical Gazette, vol. 29 (1945), p. 66-67

Références[modifier | modifier le code]

  1. A. Bouvier, M. George, F. Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF (1979)
  2. (en) Jeffrey A. Boyle, « Using rolling circles to generate caustic envelopes resulting from reflected light », Amer. Math. Monthly, vol. 122,‎ , p. 452-466 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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