Spirale de Cotes

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Les spirales de Cotes forment une famille de courbes planes dont beaucoup sont des spirales étudiées par le mathématicien et physicien Roger Cotes quand il s'est intéressé au mouvement à force centrale inversement proportionnelle au cube de la distance.

Éliminant implicitement les cas triviaux du cercle et du mouvement rectiligne, Cotes distingue 5 types de trajectoires[1]:

  1. Les spirales de Poinsot bornées
  2. Les spirales logarithmiques
  3. Les Spirales de Poinsot à asymptote
  4. Les spirales hyperboliques
  5. Les épis

Il signale que Newton a, quant à lui, déjà évoqué les cas 1 et 5, dans ses Principia[2], livre 1, section VIII, proposition XLI [3],[4].

Étude cinématique[modifier | modifier le code]

Puisque le mouvement est à force centrale, il est plan et vérifie la loi des aires.

En coordonnées polaires, cela se traduit par h est constant.

La force étant inversement proportionnelle au cube du rayon, il existe une constante μ telle que c'est-à-dire

Étude de la trajectoire[modifier | modifier le code]

Si h est nul, le mouvement est rectiligne.

Dans le cas contraire, est non nul. Le principe[5] consiste alors à déterminer l'expression de u = 1/r en fonction de θ en remplaçant par hu² et en dérivant deux fois par rapport à θ . On obtient une équation différentielle linéaire d'ordre deux, homogène, dont les solutions dépendent du signe de . En posant , on distingue 3 cas :

  1. si , u s'exprime comme combinaison linéaire de fonctions exponentielles. L'orbite est alors une spirale de Poinsot. Sa forme (bornée, logarithme ou avec asymptote) dépend des conditions initiales ;
  2. si , u est fonction affine de θ , ce qui donne pour une fonction non constante une spirale hyperbolique, et pour une fonction constante un cercle ;
  3. Si , il existe A et φ tel que et l'orbite est un épi.

Étude de la distance en fonction du temps[modifier | modifier le code]

La conservation de l'énergie totale (énergie cinétique plus énergie potentielle) permet d'exprimer r² comme fonction du second degré en t [6]. On peut montrer ainsi que dans le cas où et pour un mouvement non circulaire, le déplacement se fait dans un temps borné inférieurement, ou borné supérieurement ou, dans le cas d'une trajectoire de Poinsot bornée, dans un temps fini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cotes 1722, p. 30.
  2. Cotes 1722, p. 35.
  3. Gowing 2002, p. 54.
  4. Principia 1759, p. 136.
  5. cf. Exercice 4 de ce Td de physique du lycée Montaigne
  6. Danby 1992, p. 69.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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