Ovale de Cassini

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Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0).

En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point p de l'ovale à deux autres points fixés q1 et q2 est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit

soit constant. Les points q1 et q2 sont appelés les foyers de l'ovale.

Les ovales de Cassini sont nommés d'après Giovanni Domenico Cassini.

Si l'on note b2 le produit constant qui précède, et a celle-ci:

La forme de l'ovale dépend du rapport b/a.

  • Si b/a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
  • Si b/a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
  • Si b/a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli.

Équations[modifier | modifier le code]

Si les foyers des ovales sont (a, 0) et (−a, 0), alors l'équation de la courbe est donnée par

Ou, en coordonnées polaires

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères, de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, les équations de telles hyperboles sont

Leur équation différentielle s'écrit ainsi :

Ce qui donne l'équation des trajectoires orthogonales :

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Liens externes[modifier | modifier le code]

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