Lemniscate

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe, également son centre de symétrie.

Étymologie et histoire[modifier | modifier le code]

La lemniscate est connue depuis l'Antiquité grecque ; Persée (en), étudiant les spiriques, la décrivait en tant que section par un plan de la surface obtenue en faisant tourner un cercle autour d'un axe qui lui est tangent (tore de rayon intérieur nul)[1].

La première lemniscate dont on ait exprimé la formule analytique, celle « de Bernoulli », fait partie de la famille des ovales de Cassini, décrits par Giovanni Domenico Cassini en 1680. Elle fut redécouverte en 1694 par Jacques Bernoulli lors de ses travaux sur l'ellipse et ses variations[2], et baptisée lemniscus (« ruban » en latin). La lemniscate de Bernoulli est souvent appelée simplement « lemniscate ».

On a pu penser que le symbole de l'infini (∞) provenait de la lemniscate de Bernoulli, mais la première utilisation de ce symbole remonte au moins à John Wallis en 1655[3],[4],[5] (soit 40 ans avant la description de Bernoulli), et lui est même sans doute antérieure (voir l'article Infini).

Équation cartésienne[modifier | modifier le code]

Si l'on prend pour axe des abscisses la droite joignant les deux sommets, et pour axe des ordonnées son autre axe de symétrie, l'équation d'une lemniscate peut s'écrire :

y=\pm\,a\,f\!\left(\frac xa\right)

a désigne une constante et f une fonction paire définie sur l'intervalle [–1,+1], vérifiant f(0) = f(1) = 0 et présentant un unique maximum sur l'intervalle ]0,1[.

Cette formule générale explicitant y n'est souvent pas, cependant, la façon la plus simple de représenter une lemniscate. Pour celle de Bernoulli, par exemple, la formule explicite est :

y=\pm\,\frac a\sqrt2\,\sqrt{\sqrt{1+8\left(\frac xa\right)^2}-\left[1+2\left(\frac xa\right)^2\right]}~~(|x|\le a)

alors que l'équation implicite est plus commode à manipuler :

(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2).

Exemples de lemniscates[modifier | modifier le code]

Lemniscates les plus usuelles :

Constantes de la lemniscate[modifier | modifier le code]

Pseudonyme[modifier | modifier le code]

  • André Rondenay, polytechnicien et délégué militaire de la région de Paris en 1944, avait choisi « Lemniscate » comme pseudonyme[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Ivahn Smadja, « La lemniscate de Fagnano et la multiplication complexe », Hyper article en ligne — Sciences de l'Homme et de la société, Lyon, Institut des Sciences de l'Homme,‎ (lire en ligne)
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate », MathWorld
  3. John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus (1655), section I, Prop.1, p. 4
  4. Rubrique « D'où vient le symbole de l’infini ? » dans Des questions d'origine, sur le site personnel de R. Ferréol, prof. de math. en Maths Sup à Fénelon
  5. (en) Rubrique « Infinity » dans Earliest Uses of Symbols of Calculus, sur le site personnel de Jeff Miller
  6. Musée de l'Ordre de la Libération.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Analemme, figure en forme de huit (positions du soleil dans le ciel au cours d’une année, à la même heure et au même endroit)

Liens externes[modifier | modifier le code]