Spirale hyperbolique

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Les deux branches d'une spirale hyperbolique de paramètre m=1

Une spirale hyperbolique, ou spirale réciproque, est une courbe plane dont une équation polaire dans le repère (O, u) est : .

Elle est étudiée dès 1696 par le père jésuite Pierre Nicolas[1], puis par Pierre Varignon en 1704[2]. Elle est citée par Jean Bernoulli en 1710[3] et par Roger Cotes en 1722 quand ils étudient les mouvements à force centrale inversement proportionnelle au cube de la distance. La spirale hyperbolique est en effet un cas particulier de spirale de Cotes.

Propriétés géométriques[modifier | modifier le code]

La courbe est constituée de deux branches symétriques l'une de l'autre par une symétrie d'axe (O,v). Elle possède une droite asymptote d'équation polaire (droite parallèle à (O, u) et à une distance m du pôle O) et a pour point asymptote le pôle O.

C'est une courbe transcendante[4].

Dans cette spirale hyperbolique, la sous-tangente (segment rouge) est de longueur constante

C'est une courbe à sous-tangente polaire constante. Plus précisément, si T est le point d'intersection de la tangente en M avec la droite perpendiculaire à OM passant par O, quel que soit le point M, on a OT = m. Cette propriété est caractéristique des spirales hyperboliques.

Son rayon de courbure est [4],[5]: où T et N sont les points d'intersection de la perpendiculaire à (OM) avec la tangente et la normale à la courbe en M.

Construction du centre de courbure de la spirale hyperbolique

Cette propriété permet à Franck Balitrand de proposer une construction du centre de courbure[6] : en considérant le point d'intersection ω de la parallèle à la normale passant par T et de la perpendiculaire au rayon (OM) passant par M, la droite (Oω) rencontre la normale à la courbe en son centre de courbure.

Son abscisse curviligne s vérifie[4]:

La longueur d'un arc de courbe entre deux points M1 et M2 situés sur la même branche est donnée par la formule [5]: où les points Ti sont définis comme précédemment et où la fonction g est définie par : La spirale s'enroule donc autour de son pôle selon une spirale de longueur infinie[4].

L'aire balayée par un rayon entre les points M1 et M2 est donnée par la formule [5]:

Relations avec d'autres courbes[modifier | modifier le code]

Sur ces pistes circulaires, tous les parcours en bleu ont même longueur.

Pour tout θ, on a ρθ = m. Cette égalité est à rapprocher de l'égalité sur les coordonnées cartésiennes xy = m qui caractérise l'hyperbole. C'est la raison pour laquelle cette courbe est appelée «spirale hyperbolique». On peut traduire cette propriété géométriquement en appelant AM, le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec la demi-droite [O, u) et en remarquant que la longueur de l'arc AMM est constant. Les points de départ des coureurs placés sur des pistes circulaires concentriques, doivent être placés sur une spirale hyperbolique si ceux-ci doivent tous parcourir la même distance avant de franchir la ligne d'arrivée.

La spirale hyperbolique est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon m, de la spirale d'Archimède d'équation polaire ρ = .

Un escalier à vis en perspective dessine une portion de spirale hyperbolique.

La spirale hyperbolique est la projection conique d'une hélice circulaire[7]. Plus exactement : si (Γ) est une hélice circulaire de rayon R, si C est un point de l'axe de l'hélice et (p) un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélice et à une distance d du point C, alors la projection conique de centre C sur le plan (p) envoie l'hélice sur la spirale hyperbolique de paramètre m = R/d. Ainsi un escalier en colimaçon vu de l'axe de l'escalier se développe comme une spirale hyperbolique.

Sa podaire par rapport au pole est la spirale tractrice[8] (tractoire du cercle pour un longueur l égale au rayon).

La spirale hyperbolique (rouge) est la polaire de la développante du cercle (bleu).

Elle est elle-même la polaire de la développante du cercle[9].

Lorsqu'elle roule sur une ligne droite, son pôle décrit une tractrice[10].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Nicolas 1696, p. 23-44.
  2. Varignon 1704, p. 94-103.
  3. cf. Réponse de Monseur Bernoulli à monsieur Herman, datée du 7 octobre 1710, Remarque finale
  4. a b c et d Mathcurve.
  5. a b et c Teixeira 1909.
  6. Balitrand 1916.
  7. Olivier 1843, p. 77.
  8. Franck Balitrand, « Sur la spirale tractrice et sur une courbe associée », Nouvelles annales de mathématiques, 4e série, vol. 15,‎ , p. 347-354 (lire en ligne).
  9. Teixeira 1909, p. 198.
  10. Robert C. Yates, A Handbook on Curves and their Properties, Edwards Brothers, Ann Arbor, , p. 212

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (la) Pierre Nicolas, De lineis Logarithmicis, & Spiralibus Hyperbolicis Exercitationes Geometrica, Toulouse, (lire en ligne), p. 23-44.
  • Pierre Varignon, « Nouvelle formation des spirales - exemple II », Mémoire de l'académie des sciences de l'Institut de France,‎ , p. 94 - 103 (lire en ligne).
  • Théodore Olivier, Développements de géométrie descriptive, Carilian-Goeury et vor Dalmont, (lire en ligne), p. 76-87.
  • Francisco G. Teixeira, Obras sobre Mathematica : Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, vol. V, Coimbra, Imprensa da Universidade, (lire en ligne), p. 72-73.
  • Franck H. Balitrand, « Construction du centre de courbure de la spirale hyperbolique », Nouvelles annales de mathématiques, 4e série, vol. 16,‎ , p. 223-225 (lire en ligne).
  • Robert Ferreol, « Spirale hyperbolique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, (consulté le )