Strophoïde

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Construction de la strophoïde droite de pôle X et de point fixe O, en prenant pour courbe de base l'axe Oy.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

Construction[modifier | modifier le code]

Construction d'une strophoïde dans le cas général

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P1 et P2 les deux points de L tels que P1K = P2K = AK. Le lieu géométrique des pointsP1 et P2 est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP1 et AP2 sont orthogonaux.

Équations[modifier | modifier le code]

Coordonnées polaires[modifier | modifier le code]

Soit la courbe C donnée par r = f(\theta), où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta) est un point de la courbe, la distance de K à A est

d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta -b)^2}.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire \theta, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance f(\theta) \pm d de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

Soit C d'équations paramétriques (x=x(t),y= y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

x=u(t) = p + (x(t)-p)(1 \pm n(t)),\ y= v(t) = q + (y(t)-q)(1 \pm n(t)),

n(t) = \sqrt{\frac{(x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2}{(x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2}}.

Une autre formule polaire[modifier | modifier le code]

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles O et A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, \theta l'angle entre OK et l'axe Ox, et \vartheta l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que \vartheta soit donné en fonction de \theta, sous la forme \vartheta = l(\theta). Soit \psi l'angle en K, donc\psi = \vartheta - \theta. On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

{r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}.

Soit P1 et P2 les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon à ce que\psi = \widehat{P_1KA} et \pi-\psi = \widehat{ AKP_2}. Le triangle P_1KA est isocèle d'angle au sommet \psi, donc les angles de la base, \widehat{  AP_1K} et \widehat{  KAP_1}, valent(\pi-\psi)/2. L'angle entre AP1 et l'axe Ox est alors

l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2.

Utilisant le fait que AP1 et AP2 sont perpendiculaires (car le triangleAP1P2 est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP2 et l'axe Ox vaut

l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l1 et l2 d'après les formules précédentes :

r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}
r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme q \theta + \theta_0 ; dans ce cas l1 et l2 ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Strophoïdes obliques[modifier | modifier le code]

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, l(\theta) = \alpha, où \alpha est une constante, et l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2 ; l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}

et

r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)} ;

une rotation de \alpha transforme cette équation en

r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droite[modifier | modifier le code]

Strophoïde droite.

Posant \alpha = \pi/2 dans

r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)},

on obtient

r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta).

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

y^2 = x^2(a-x)/(a+x) ;

une représentation paramétrique unicursale est :

x = -a\frac{1-t^2}{1+t^2}
y = -a t \frac{1-t^2}{1+t^2}.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié {\mathbb C}^2, données par

x\pm iy = -a.

Strophoïdes de cercles passant par les points fixes[modifier | modifier le code]

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, l(\theta) = \alpha+\theta, où \alpha est une constante. Ainsi, l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2 et l_2(\theta) = \theta + \alpha/2. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}

et

r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}.

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de \pi/4 avec C en ces points.

Références[modifier | modifier le code]

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