Dual d'un polyèdre

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En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que :

  • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
  • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers convexes en reliant les centres des faces adjacentes (voir § Dualité des solides de Platon).

On peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée plus loin.

Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le dual d'un polyèdre convexe est aussi un polyèdre convexe.[1]
Le dual d'un polyèdre non-convexe est aussi un polyèdre non-convexe.[1] (contraposée)
  • Un polyèdre et son dual ont les mêmes symétries éventuelles (par rapport à un plan, une droite, un point)[1].

Duaux de polyèdres "classiques"[modifier | modifier le code]

Dualité des solides de Platon[modifier | modifier le code]

Le tétraèdre est son propre dual.[1]
dual du cube dual de l'octaèdre
Le dual du cube est l'octaèdre.[1] Le dual de l'octaèdre est le cube.[1]
dual du dodécaèdre dual de l'icosaèdre
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre.[1] Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre.[1]


solide régulier convexe dual régulier convexe
tétraèdre Tetrahedron.svg tétraèdre Tetrahedron.svg
cube Hexahedron.svg octaèdre Octahedron.svg
octaèdre Octahedron.svg cube Hexahedron.svg
icosaèdre Icosahedron.svg dodécaèdre régulier Dodecahedron.svg
dodécaèdre régulier Dodecahedron.svg icosaèdre Icosahedron.svg


Dualité des solides de Kepler-Poinsot[modifier | modifier le code]

Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé est le dual du grand icosaèdre.
(Voir l'article Solide de Kepler-Poinsot.)

solide régulier non-convexe dual régulier non-convexe
petit dodécaèdre étoilé SmallStellatedDodecahedron.jpg grand dodécaèdre GreatDodecahedron.jpg
grand dodécaèdre étoilé GreatStellatedDodecahedron.jpg grand icosaèdre GreatIcosahedron.jpg


Duaux des solides archimédiens, des prismes, et des antiprismes[modifier | modifier le code]

Les duaux des solides d'Archimède sont les solides de Catalan.[1]

solide uniforme convexe dual isoédral convexe
tétraèdre tronqué Truncatedtetrahedron.jpg triakitétraèdre Triakistetrahedron.jpg
cube tronqué Truncatedhexahedron.jpg triakioctaèdre Triakisoctahedron.jpg
octaèdre tronqué Truncatedoctahedron.jpg tétrakihexaèdre Tetrakishexahedron.jpg
cuboctaèdre Cuboctahedron.svg dodécaèdre rhombique Rhombicdodecahedron.jpg
petit rhombicuboctaèdre Rhombicuboctahedron.jpg icositétraèdre trapézoïdal Deltoidalicositetrahedron.jpg
grand rhombicuboctaèdre Truncatedicosidodecahedron.jpg hexakioctaèdre Disdyakistriacontahedron.jpg
cube adouci Snubhexahedroncw.jpg icositétraèdre pentagonal Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
dodécaèdre tronqué Truncateddodecahedron.jpg triaki-icosaèdre Triakisicosahedron.jpg
icosaèdre tronqué Truncatedicosahedron.jpg pentakidodécaèdre Pentakisdodecahedron.jpg
icosidodécaèdre Icosidodecahedron.jpg triacontaèdre rhombique Rhombictriacontahedron.jpg
petit rhombicosidodécaèdre Rhombicosidodecahedron.jpg hexacontaèdre trapézoïdal Deltoidalhexecontahedron.jpg
grand rhombicosidodécaèdre Truncatedicosidodecahedron.jpg hexaki icosaèdre Disdyakistriacontahedron.jpg
dodécaèdre adouci Snubdodecahedronccw.jpg hexacontaèdre pentagonal Pentagonalhexecontahedroncw.jpg


Les duaux des prismes sont les diamants (ou bipyramides).[1]
Les duaux des antiprismes sont les antidiamants (ou trapézoèdres).[1]

Duaux de polyèdres géodésiques[modifier | modifier le code]

solide convexe non uniforme,
mais tous ses sommets sont du même ordre (3)
dual convexe non isoédral,
mais toutes ses faces sont du même ordre (3)
géode en nid d'abeille Geodeduale.png géode par triangulation Geode10.png


Construction de Dorman Luke[modifier | modifier le code]

Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.

À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommet (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.

DormanLuke.svg

Détails de la construction de Dorman Luke :

- dessiner la figure de sommet obtenue en marquant les milieux A, B, C, D de chaque arête issue du sommet considéré ;
- tracer le cercle circonscrit au polygone ABCD ;
- tracer les tangentes au cercle circonscrit en chaque sommet A, B, C, D ;
- marquer les points E, F, G, H où chaque tangente rencontre une tangente adjacente ;
- le polygone EFGHest une face du polyèdre dual.

Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommet se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.

La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  1. a b c d e f g h i j et k « dualité », sur maths.ac-noumea.nc (consulté le 19 septembre 2020)