Dualité (géométrie projective)

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La dualité projective, créée par Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867), père fondateur de la géométrie projective, bien que beaucoup moins enseignée que la dualité en algèbre linéaire, est probablement la plus belle notion de dualité que l'on rencontre en mathématiques.

Il s'agit de formaliser la constatation toute simple qu'il y a une analogie - une dualité, justement - entre le fait que par deux points distincts passe une droite et une seule, et le fait que deux droites distinctes se coupent en un point et un seul (à condition de se placer justement en géométrie projective, de sorte que deux droites parallèles se rencontrent en un point à l'infini).

Dualité dans un plan projectif[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Contrairement à la géométrie plane classique où les droites sont des ensembles de points, il vaut mieux considérer en géométrie projective que le plan projectif est constitué d'un ensemble de points , d'un ensemble de droites , et d'une relation indiquant quels points sont sur quelle droite (ou quelles droites passent par quel point). Pour bien comprendre que c'est cette relation qui est importante et non la nature des points et des droites, le mathématicien Hilbert disait : « Il faut toujours pouvoir dire "table", "chaise" et "bock de bière" à la place de "point", "droite" et "plan" » !

Nous considérons dans un premier temps que le plan projectif est défini de manière axiomatique ; on constate alors que l'on obtient un autre plan projectif en considérant l'objet dont les "points" sont les droites de et les "droites" sont les points de , une droite de (qui est un point de ) passant par un "point" de (qui est une droite de ) lorsque passe par .

Voici un point et une droite de  : normal ! Voici un "point" et une "droite" de dont nous avons dessiné 4 de ses "points".
Point et droite.gif Point et droite etoile.gif

Pour simplifier, au lieu de travailler sur 2 plans différents, et , on peut se contenter de travailler sur un seul plan projectif .

Corrélation ou dualité, déf : Une corrélation est une transformation des points du plan en droites et des droites du plan en points et qui respecte l'incidence.
Polarité, déf : Une polarité est une corrélation involutive, c’est-à-dire que son carré est la transformation identique.

Exemples[modifier | modifier le code]

À toute configuration de points et de droites dans correspond alors dans une configuration duale obtenue en échangeant les points et les droites, et de même, à tout théorème dans , correspond un théorème dual. Voici quelques exemples :

Configuration dans Même configuration vue dans
2 points et et la droite passant par ces deux points, notée 2 droites et et leur point d'intersection, noté (la notation paraîtrait trop étrange)
3 points alignés 3 droites concourantes
Configuration de Ceva
Ceva.gif

Un triangle de sommets et trois céviennes concourant en

Configuration de Ménélaus
Menelaus.gif

Un triangle de côtés et une ménélienne rencontrant les côtés en

Configuration de Desargues

Deux triangles de sommets respectifs et , et de côtés et ( etc), les points , , , les droites .

Le théorème de Desargues affirme que sont alignés ssi sont concourantes.

Configuration de Desargues (qui est donc "auto-duale")

Deux triangles de côtés respectifs et , et de sommets et ( etc), les droites , , , les points .

Le théorème de Desargues affirme que sont concourantes ssi sont alignés.

Configuration de Pappus

Deux triplets de points alignés et , ,  ; le théorème de Pappus affirme que sont alignés.

Configuration de "Copappus", ou Pappus-dual

Deux triplets de droites concourantes et , ,  ; le théorème de "Copappus" affirme que sont concourantes. (voir figure ci-dessous où on voit que cette configuration est finalement "auto-duale" également)

Remarque : Si l'on convient d'identifier une droite avec l'ensemble de ses points, il faut, pour que la dualité soit parfaite, identifier un point avec l'ensemble des droites qui passent par ce point, autrement dit, identifier un faisceau de droites avec son pôle !

Dualité et birapport[modifier | modifier le code]

Dualités, corrélations et polarités[modifier | modifier le code]

Considérons les homographies de sur  ; ce sont des bijections de sur qui transforment une droite de en une "droite" de  ; on peut donc les prolonger en une bijection, toujours notée , de , qui transforme un point en une droite et réciproquement, et qui vérifie : .

De telles applications sont appelées des dualités ou corrélations ; lorsqu'elles sont involutives (), elles sont appelées des polarités ou autrefois "transformations par polaires réciproques". Dans ce dernier cas, l'image d'un point est appelé la polaire de ce point, et l'image d'une droite, son pôle.

D'après le théorème fondamental de la géométrie projective, dans le cas réel toute dualité provient d'une homographie (dans le cas général, d'une semi-homographie).

Théorème d'incidence et de réciprocité[modifier | modifier le code]

Il y a deux théorèmes importants qui découlent des définitions.

Théorème d'incidence: Si le point A est incident à la droite d, alors le point dual de d est incident à la droite duale de A.

Théorème de réciprocité polaire: Si le point A est sur la polaire du point B, alors B est sur la polaire de A. Ce théorème est plus puissant que le précédent.

Relations avec la dualité en algèbre linéaire[modifier | modifier le code]

On sait qu'il existe une bijection entre les points de et les droites vectorielles d'un espace vectoriel de dimension 3, et une bijection entre les droites de et les plans vectoriels de (un point appartenant à une droite si la droite vectorielle est incluse dans le plan vectoriel).

L'orthogonalité entre et son dual , ensemble des formes linéaires sur , qui à tout sous-espace vectoriel de associe un sous-espace vectoriel de induit une bijection entre les plans vectoriels de et les droites vectorielles de , et entre les droites vectorielles de et les plans vectoriels de , qui inverse les inclusions.

Il existe donc une bijection canonique entre les points et droites de et les droites et plans vectoriels de qui respecte les incidences : si un plan projectif est associé à un espace vectoriel , le plan dual est bien associé à l'espace vectoriel dual .

Duale d'une homographie[modifier | modifier le code]

Une homographie du plan projectif dans lui-même est une bijection dans l'ensemble des points de , qui induit une bijection dans l'ensemble des droites de , qui est l'ensemble des "points" de  : est l'homographie duale de (remarquons que  !) ; on vérifie que si provient d'un automorphisme de , alors provient de l'automorphisme de dual de , appelé plus souvent automorphisme transposé de .

Utilisation des coordonnées[modifier | modifier le code]

Rapportons le plan projectif à un repère projectif , qui est associé à une base de l'espace vectoriel  ; considérons l'isomorphisme entre et son dual qui transforme en la base duale , lequel induit une dualité entre et  ; à un point de est associé un vecteur défini à une constante multiplicative près de coordonnées dans (les coordonnées homogènes de dans ), auquel est associé par la forme linéaire dont le noyau est le plan d'équation  ;

cette équation est l'équation homogène de la droite image de par la dualité ; l'on vérifie qu'inversement, l'image de est , ce qui fait que cette dualité est une polarité, définie par :

point de coordonnées homogènes ↔ droite d'équation homogène :

le repère dual de , associé à est formé des droites d'équation respectives : , donc . Remarquons qu'un point et sa droite polaire ont mêmes coordonnées homogènes, l'un dans , l'autre dans .

Dualité associée à une forme bilinéaire, polarité associée à une forme quadratique ou à une conique[modifier | modifier le code]

Soit une dualité de vers provenant d'un isomorphisme de vers . Il est associé à ce dernier une forme bilinéaire non dégénérée sur , définie par (noté par le crochet de dualité ) et cette correspondance est bijective ; la dualité est dite associée à la forme bilinéaire (définie à une constante multiplicative près). La matrice de l'isomorphisme dans une base et la base duale est celle de la forme bilinéaire dans .

La dualité est une polarité ssi pour tous points et  : , ce qui se traduit sur la forme bilinéaire par : pour tous vecteurs et  :  ; on montre que cette dernière condition équivaut à ce que soit symétrique ou antisymétrique (si le corps est de caractéristique différente de 2).

Toute forme quadratique sur engendre une forme bilinéaire symétrique, laquelle en engendre une polarité dans , qui est dite associée à . Le cône isotrope de (défini par ) est un cône du second degré de lequel engendre une conique projective dans . On dit alors par abus que la polarité associée à est la polarité par rapport à (C). Remarquons qu'on a alors : .

Polarité par rapport à un cercle dans le plan euclidien[modifier | modifier le code]

Considérons un cercle (C) de centre O de rayon a d'un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé  ; est le complété projectif de et son enveloppe vectorielle, rapportée à .

L'équation cartésienne du cercle est  ; la polarité par rapport à est donc associée à la forme quadratique de et l'isomorphisme de sur est celui qui envoie sur

Du point de vue du plan affine , la polarité a une définition très simple : au point de coordonnées correspond la droite d’équation et l’image d’un point à l’infini est la droite passant par et perpendiculaire à la direction du point.

Polaire construction.gif

Et on a les définitions géométriques suivantes : la polaire (droite image par la polarité) d’un point par rapport au cercle (C) est le lieu des conjugués harmoniques du point par rapport au cercle, lieu défini par la relation  ; c’est la droite orthogonale à la droite passant par l’inverse de par rapport à (C) ; c’est aussi l’axe radical du cercle (C) et du cercle de diamètre  ; quand est extérieur à , c’est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de au cercle (C).

Dualité entre courbes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : courbe duale.
Polaire.gif Une dualité, qui transforme des points en droites et réciproquement, transforme une courbe ( famille de points) de en une "courbe" (famille de droites) du plan dual : mais grâce à la notion d'enveloppe, on retrouve une courbe (famille de points) de  : l'enveloppe de la famille des droites duales, dite courbe duale de .

Ce qui est remarquable, c'est que lorsque la dualité est une polarité, la duale de la duale est la courbe de départ (autrement dit, la famille des droites polaires des points de la courbe duale enveloppe la courbe de départ).

Ci-contre, une figure illustrant ceci, avec une polarité par rapport à un cercle .

Cette transformation est une transformation de contact : si une famille de courbes admet une enveloppe, la famille des courbes polaires admet pour enveloppe la polaire de cette enveloppe.

Voir ici pour plus de détails.

Configuration de Pappus, exemple détaillé de dualité[modifier | modifier le code]

Pour illustrer géométriquement une dualité quelconque, il faut définir le processus par lequel on transforme un point en droite. Un exemple de dualité simple est donné ci-dessous: on prend le quadrangle (4 points) ACZF, on le transforme en quadrilatère (4 droites) aczf, et pour compléter un peu la figure les droites AC, CZ, ZF de la figure de départ ont été tracées, ainsi que les points d'intersection a*c, c*z et z*f de la figure d'arrivée.

Dualiquadran.PNG
Poursuivant le dessin du même exemple, on peut figurer la dualité d'une configuration de Pappus, voir Théorème de Pappus. La configuration de départ est formée des 9 points: AEC DBF XYZ, la configuration d'arrivée est donnée par les 9 droites aec dbf xyz. Dans la configuration de départ on a pris soin de compléter la figure par les 9 droites joignant les points, il s'agit des droites jnp qhk et mgr; de même dans la configuration d'arrivée les intersection des droites donnent naissance aux 9 points JNP QHK MGR.
PappDualPapp.PNG

Dualité dans un espace projectif de dimension finie[modifier | modifier le code]

C'est la généralisation de ce que nous venons de voir dans le plan ; en dimension , non seulement la dualité échange les points et les hyperplans, mais plus généralement les sous-espaces de dimension avec ceux de dimension .

Par exemple, en dimension 3, les points sont échangés avec les plans, et les droites avec elles-mêmes. Le théorème dual de : "par deux points distincts" passe une droite et une seule devient : "deux plans distincts se coupent en une droite". Un tétraèdre de sommets devient par dualité un tétraèdre de faces  ; dans le premier cas, les points et déterminent une arête (celle qui passe par et , et dans le deuxième aussi (l'intersection de et ).

Plus précisément le dual d'un espace projectif de dimension est l'espace dont les sous-espaces de dimension sont les duaux de ceux de dimension de , et une dualité sur est une bijection de l'ensemble des sous-espaces projectifs de dans lui-même qui inverse les inclusions et transforme un sous-espace de dimension en un de dimension  ; dans le cas réel, une dualité provient d'une homographie de sur (d'une semi-homographie dans le cas général).

Tout ce qui a été vu dans le cas plan se généralise ici, en particulier la notion de polarité par rapport à une conique qui devient ici celle de polarité par rapport à une hyperquadrique (non dégénérée).

Références[modifier | modifier le code]

  • Alain Bigard, Géométrie, Masson, 1998
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
  • Jean Frenkel, Géométrie pour l'élève professeur, Hermann, 1973
  • Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métrique, C&M, ISBN 978-2916352121
  • Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, Interéditions, 1993
  • H.S.M. Coxeter, Projective geometry, Springer, 1998(3e édition); c'est en anglais canadien très facile à comprendre, et les pages sur la dualité et la polarité sont claires, bien que très abstraites.
  • Yves Ladegaillerie, Géométrie, Ellipses, 2003