Analyse harmonique sur un groupe abélien fini

En mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est un cas particulier de l'analyse harmonique, lorsque l'on travaille sur un groupe abélien fini. Une des motivations de cette théorie est de discrétiser la théorie des séries de Fourier. En effet, la théorie de Fourier peut être vue comme l'analyse de Fourier du cercle unité, qu'il est naturel de discrétiser par les groupes cycliques ℤ/nℤ. On retrouve alors la transformation de Fourier discrète.

Par analogie avec l'analyse harmonique réelle, on peut définir sur un groupe abélien fini un produit de convolution ainsi qu'une transformation de Fourier. On retrouve alors l'analogue de nombreux résultats classiques, comme le théorème de Plancherel, l'égalité de Parseval ou la formule sommatoire de Poisson.

Contrairement à l'analyse de Fourier sur des groupes plus généraux, la théorie est souvent présentée comme plus simple dans le cas des groupe abéliens finis, car le groupe dual est toujours isomorphe au groupe d'origine. En outre, les questions délicates de convergence et de régularité sont absentes, puisque la transformation de Fourier se limite à une somme finie et que la topologie sous-jacente à un groupe fini est la topologie discrète.

L'analyse harmonique sur un groupe abélien fini possède de nombreuses applications en mathématiques, notamment en arithmétique modulaire (loi de réciprocité quadratique, fonction L de Dirichlet, représentations linéaires des groupes abéliens finis), en théorie de l'information (plus particulièrement dans l'étude des codes correcteurs), ainsi qu'en théorie des graphes. Hors des mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est utilisée en physique et en chimie, notamment en physique statistique (étude des urnes d'Ehrenfest), en mécanique (analyse harmonique de systèmes oscillants) et en chimie organique (stabilité des hydrocarbures aromatiques).

Structure de l'espace L²(G)

Dans tout cet article, $G$ désigne un groupe abélien d'ordre $|G|$, noté additivement.

Algèbre complexe du groupe G

L'ensemble $\mathbb {C} ^{G}$ des applications de $G$ dans $\mathbb {C}$ est un espace vectoriel complexe de dimension $|G|$, de base canonique $(\delta _{g})_{g\in G}$, où $\delta _{g}$ désigne la fonction indicatrice associé au singleton $\lbrace g\rbrace$. Dans cette base, une application $f\in \mathbb {C} ^{G}$ se décompose

$f=\sum _{g\in G}f(g)\,\delta _{g}.$

L'espace $\mathbb {C} ^{G}$ est en outre une $\mathbb {C}$-algèbre hermitienne, munie du produit hermitien $\langle \cdot |\cdot \rangle$ défini par

$\forall f_{1},f_{2}\in \mathbb {C} ^{G},\quad \langle f_{2}\mid f_{2}\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}{\overline {f_{1}(g)}}f_{2}(g)$

pour lequel la base $(\delta _{g})_{g\in G}$ est une base orthonormée, et muni du produit de convolution $*$, défini par

$\forall f_{1},f_{2}\in \mathbb {C} ^{G},\quad \left(\sum _{g\in G}f_{1}(g)\delta _{g}\right)*\left(\sum _{h\in G}f_{2}(h)\delta _{h}\right)=\sum _{g\in G}\left(\sum _{h\in G}f_{1}(h)f_{2}(g-h)\right)\delta _{g}$.

Pour ce produit interne, on dispose d'une injection canonique de groupes $G\hookrightarrow \mathbb {C} ^{G}$donnée par $g\mapsto \delta _{g}$, c'est-à-dire que

$\forall g,h\in G,\quad \delta _{g}*\delta _{h}=\delta _{g+h}$.

Munie de cette structure, on appelle $\mathbb {C} ^{G}$ l'algèbre du groupe fini $G$, et on la note plutôt $\mathbb {C} [G]$.

Groupe dual

Le groupe dual de $G$, généralement noté ${\hat {G}}$, est l'ensemble des caractères de $G$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans le groupe multiplicatif $\mathbb {C} ^{*}$. Il est à noter que puisque tous les éléments du groupe fini $G$ sont d'ordre fini, l'image d'un caractère de $G$ est nécessairement incluse dans le cercle unité complexe.

Lorsque $G$ est le groupe cyclique $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$, le dual de $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ est égal à l'ensemble des caractères $\psi _{a}$ définis pour $a\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ par

$\forall k\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ,\quad \psi _{a}(k)=e^{-{\frac {2i\pi ak}{N}}}$,

et l'application $a\mapsto \psi _{a}$ induit donc une bijection entre $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ et son dual. À noter que l'on dispose également des bijections $a\mapsto \psi _{a}(b\,\cdot )$, où $b$ est n'importe quel générateur de $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$.

En général, muni du produit issu de celui des nombres complexes, l'ensemble ${\hat {G}}$ est un groupe (non canoniquement) isomorphe à $G$. Ceci se vérifie pour les groupes cycliques en fixant un générateur (d'où le caractère non canonique de l'isomorphisme), puis s'étend aux groupes abéliens finis quelconques grâce au théorème de structure des groupes abéliens finis. Tout groupe abélien fini est cependant canoniquement isomorphe à son bidual (le dual de son dual). Cette propriété se généralise aux groupes abéliens localement compacts sous le nom de dualité de Pontryagin.

Proposition — L'ensemble des caractères ${\hat {G}}$ de $G$ forme une base orthonormée de l'algèbre de groupe $\mathbb {C} [G]$.

Démonstration

Montrons que deux caractères $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ distincts de $G$ sont orthogonaux. Puisqu'ils sont distincts, il existe un élément $h\in G$ tel que $\psi _{1}(h)\neq \psi _{2}(h)$. En translatant la somme du produit hermitien de $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ par $h^{-1}$, on obtient

$\langle \psi _{1}\mid \psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g}{\overline {\psi _{1}(hg)}}\psi _{2}(hg)$.

Puisque les caractère sont des morphismes de groupes,

$\langle \psi _{1}\mid \psi _{2}\rangle ={\overline {\psi _{1}(h)}}\psi _{2}(h)\langle \psi _{1}\mid \psi _{2}\rangle$.

Les caractères étant à valeur dans le cercle unité complexe, le conjugué complexe d'un caractère est égal à son inverse et donc ${\overline {\psi _{1}(h)}}\psi _{2}(h)$ est égal à $\psi _{1}(h)^{-1}\psi _{2}(h)$, qui n'est pas égal à $1$ par hypothèse sur $h$. Le produit hermitien $\langle \psi _{1}\mid \psi _{2}\rangle$ est donc nul.

Il est clair qu'un caractère $\psi$ de $G$ est de norme $1$, puisque ${\overline {\psi }}={\frac {1}{\psi }}$.

Mesure de Haar

Sur un groupe abélien localement compact $G$, on dispose en général d'une mesure borélienne invariante par la loi du groupe (unique à un scalaire près), appelée mesure de Haar. Cette mesure définit des espaces ${\rm {L}}^{p}$ sur $G$, et comme tout espace ${\rm {L}}^{2}$, l'espace ${\rm {L}}^{2}(G)$ est naturellement muni d'un produit hermitien $\langle \cdot |\cdot \rangle$ donné par

$\forall f_{1},f_{2}\in {\rm {L}}^{2}(G),\quad \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle =\int _{G}f_{1}(h)f_{2}(h)\,{\rm {d}}g,$

où ${\rm {d}}g$ désigne ici une mesure de Haar sur $G$.

Dans le cas où $G$ est un groupe abélien fini, la situation est élémentaire. La topologie dont est muni $G$ étant la topologie discrète, la mesure de Haar coïncide avec la mesure de comptage (et ses multiples par un scalaire). Puisque $G$ est fini, l'espace ${\rm {L}}^{2}(G)$ est égal à l'ensemble des fonction sur $G$ à valeurs complexes, et son produit hermitien coïncide (après renormalisation de la mesure de comptage par $1/|G|$ pour en faire une mesure de probabilité) au produit hermitien défini plus haut sur $\mathbb {C} [G]$.

Égalité de Bessel-Parseval

Tout élément $f\in {\rm {L}}^{2}(G)$ se décompose sur la base orthonormée ${\hat {G}}$ sous la forme

$f=\sum _{\psi \in {\widehat {G}}}\langle \psi \mid f\rangle \psi =\sum _{\psi \in {\widehat {G}}}\left(\sum _{g\in G}f(g){\overline {\psi (g)}}\right)\psi$.

Le cas d'égalité de l'inégalité de Bessel dans un espace hermitien montre alors que

$\|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\sum _{\psi \in {\widehat {G}}}\vert \langle \psi \mid f\rangle \vert ^{2}$.

Transformation de Fourier d'un groupe abélien fini

Définition

Par analogie avec l'analyse harmonique réelle, on peut définir sur l'espace ${\rm {L}}^{2}(G)$ une transformation de Fourier, en suivant le principe de la dualité de Pontryagin. La transformée de Fourier d'un élément $f\in {\rm {L}}^{2}(G)$ comme l'élément ${\widehat {f}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C}$ de $\mathbb {C} [{\hat {G}}]={\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$ défini par

$\forall \psi \in {\hat {G}},\quad {\widehat {f}}(\psi )=|G|\cdot \langle \psi \mid f\rangle =\sum _{g\in G}f(g){\overline {\psi (g)}}$.

Ceci définit une application linéaire, la transformation de Fourier ${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}(G)\to {\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$. Il est à noter que contrairement à la transformation de Fourier usuelle, on peut ici directement la définir sur l'espace ${\rm {L}}^{2}(G)$ et le théorème de Plancherel est trivialement vérifié, puisque les ensembles sous-jacents à ${\rm {L}}^{2}(G)$ et $\mathbb {C} ^{G}$sont égaux.

Cas des groupes cycliques

Dans le cas où $G$ est le groupe cyclique $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$, en utilisant l'isomorphisme $a\mapsto \psi _{a}=\exp \left(-{\frac {2i\pi a\,\cdot }{N}}\right)$ entre $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ et son dual, la transformée de Fourier de $f\in {\rm {L}}^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ est donnée par

$\forall a\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ,\quad {\widehat {f}}(\psi _{a})=N\cdot \langle \psi _{a}\mid f\rangle =\sum _{k=0}^{N-1}f(k)e^{-{\frac {2i\pi ak}{N}}}$

et correspond à la transformation de Fourier discrète.

Exemples

• Pour tout $g\in G$, la transformation de Fourier de l'indicatrice $\delta _{g}$ est donnée par $\forall \psi \in {\hat {G}},\quad {\widehat {\delta _{g}}}(\psi )=\sum _{h\in G}\delta _{g}(h){\overline {\psi (h)}}={\overline {\psi (g)}}$,c'est-à-dire le conjugué complexe de l'évaluation en $g$ sur ${\hat {G}}$, qui est le caractère correspondant à l'élément $g$ sous l'identification entre $G$ et son bidual ${\hat {\hat {G}}}$.
• Pour un caractère $\psi \in {\hat {G}}$,$\forall \chi \in {\hat {G}},\quad {\widehat {\psi }}(\chi )=\sum _{g\in G}\psi (g){\overline {\chi (g)}}=\vert G\vert \cdot \langle \chi \mid \psi \rangle =\vert G\vert \cdot \delta _{\psi }(\chi )$,et donc la transformation de Fourier du caractère $\psi$ est à un multiple près égale à l'indicatrice de ce caractère.
• La transformée de Fourier de l'application constante égale à $1$ (qui n'est autre que le caractère trivial) vaut donc $\vert G\vert$ sur le caractère trivial et zéro partout ailleurs.
• Si $H$ est un sous-groupe de $G$ et si $\delta _{H}:G\to \lbrace 0,1\rbrace$ désigne la fonction indicatrice de $H$, alors la transformée de Fourier de $\delta _{H}$ est donnée par$\forall \psi \in {\hat {G}},\quad {\widehat {\delta _{H}}}(\psi )=\sum _{g\in G}\delta _{H}(g){\overline {\psi (g)}}=\sum _{g\in H}{\overline {\psi (g)}}$,et cette dernière somme vaut $\vert H\vert$ si le caractère $\psi$ est trivial sur $H$ et zéro sinon. En d'autre termes, ${\widehat {\delta _{H}}}=\vert H\vert \cdot \delta _{H^{\perp }}$, où $H^{\perp }$ désigne l'orthogonal, au sens de Pontryagin, du groupe $H$.

Analogie avec la transformation de Fourier réelle et les séries de Fourier

Comme pour la dualité de Pontryagin, l'analogie avec la transformation de Fourier usuelle est expliquée par l'étude des caractères continus de $\mathbb {R}$, vu comme un groupe topologique abélien localement compact. Le groupe $\mathbb {R}$ est isomorphe à son dual, via l'isomorphisme $a\mapsto \psi _{a}$ de $\mathbb {R}$ dans ${\hat {\mathbb {R} }}$, avec $\psi _{a}:x\mapsto e^{2i\pi ax}$. Si l'on note ${\rm {d}}x$ la mesure de Lebesgue, la transformée de Fourier d'une fonction $f\in {\rm {L^{1}(\mathbb {R} )}}$ est définie par

$\forall a\in \mathbb {R} ,\quad {\widehat {f}}(a)=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2i\pi ax}\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {R} }f(x){\overline {\psi _{a}(x)}}\,{\rm {d}}x$.

De même, on peut faire l'analogie avec les séries de Fourier, que l'on interprète comme les transformations de Fourier des groupe abéliens duaux $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ et $\mathbb {Z}$ (dont le premier est compact et l'autre discret). Les caractères de $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ sont induits par les caractères $1$-périodiques de $\mathbb {R}$, c'est-à-dire les caractères $\psi _{a}$ pour $a\in \mathbb {Z}$. On obtient donc un isomorphisme $a\mapsto \psi _{a}$ de $\mathbb {Z}$ dans ${\widehat {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$. En considérant la mesure induite par la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, la transformée de Fourier de $f\in {\rm {L^{1}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}}$ est donnée par

$\forall n\in \mathbb {Z} ,\quad {\widehat {f}}(\psi _{n})=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f(x){\overline {\psi _{n}(x)}}\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f(x)e^{-2i\pi nx}\,{\rm {d}}x$,

ce qui correspond aux coefficients de Fourier $c_{n}(f)$ de $f$. En appliquant la transformation de Fourier du groupe discret $\mathbb {Z}$ (dont le dual est isomorphe au bidual de $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ et donc à $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$), pour la mesure de comptage, on retrouve à une symétrie près la série de Fourier associée à $f$,

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad {\widehat {\widehat {f}}}(-x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\widehat {f}}(\psi _{n}){\overline {\psi _{-x}(n)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(f)e^{2i\pi xn}$.

Propriétés de la transformation de Fourier

En interprétant l'algèbre de groupe $\mathbb {C} [G]$ comme l'espace ${\rm {L}}^{2}(G)$ pour la mesure de Haar, dont une base orthonormée est donnée par l'ensemble ${\hat {G}}$caractères, on retrouve les résultats classiques des séries de Fourier et de la transformation de Fourier réelle.

Produit de convolution

Le choix ci-dessus de multiplier $\langle \psi \mid f\rangle$ par $\vert G\vert$ dans la définition de la transformation de Fourier assure sa compatibilité avec le produit de convolution $*$, sans constante additionnelle.

Porposition — Soit $f_{1}$ et $f_{2}$ deux éléments de l'algèbre du groupe G, la transformée de Fourier de $f_{1}*f_{2}$ est le produit de celles de $f_{1}$ et $f_{2}$, c'est-à-dire

$\forall f_{1},f_{2}\in \mathbb {C} [G]\quad {\widehat {f_{1}*f_{2}}}={\widehat {f}}_{1}\cdot {\widehat {f}}_{2}$.

Démonstration

En utilisant les propriétés de morphisme des caractères, on obtient

${\begin{aligned}\forall \psi \in {\widehat {G}},\qquad {\widehat {f_{1}*f_{2}}}(\psi )&=\sum _{g\in G}{\overline {\psi (g)}}(f_{1}*f_{2})(g)\\&=\sum _{g\in G}{\overline {\psi (g)}}\left(\sum _{x,y\in G,\,x+y=g}f_{1}(x)f_{2}(y)\right)\\&=\sum _{x,y\in G}{\overline {\psi (x+y)}}f_{1}(x)f_{2}(y)\\&=\left(\sum _{x\in G}{\overline {\psi (x)}}f_{1}(x)\right)\left(\sum _{y\in G}{\overline {\psi (y)}}f_{2}(y)\right)\\&={\widehat {f}}_{1}(\psi ){\widehat {f}}_{2}(\psi ).\end{aligned}}$

Inversion de Fourier et égalité de Parseval

Sur un groupe abélien localement compact, la transformation de Fourier ${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}(G)\to {\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$ est un isomorphisme d'espaces hermitiens, de réciproque un multiple de la transformation de Fourier duale ${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}({\hat {G}})\to {\rm {L}}^{2}(G)$, où l'on a identifié canoniquement ${\hat {\hat {G}}}$ et $G$. En choisissant bien la mesure de Haar sur ${\hat {G}}$ (qui est unique à un scalaire complexe près), on peut alors faire en sorte d'obtenir

$\forall f\in {\rm {L^{2}(G)}},\quad \forall g\in G,\quad {\widehat {\widehat {f}}}(g)=f(-g).$

Dans le cas des groupes abéliens finis, on choisit pour ce faire de munir ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$ du produit hermitien

$\forall f_{1},f_{2}\in {\rm {L}}^{2}({\hat {G}}),\quad \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert ^{2}}}\sum _{\psi \in {\widehat {G}}}{\overline {f_{1}(\psi )}}f_{2}(\psi )$,

et on remarquera que ce produit hermitien correspond à la mesure de Haar sur ${\hat {G}}$ de masse totale $1/\vert G\vert =1/\vert {\hat {G}}\vert$, alors que celui introduit pour définir ${\rm {L}}^{2}(G)$ correspondait à la mesure de Haar sur $G$ de masse totale $1$. On notera cependant toujours ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$ l'espace $\mathbb {C} ^{\hat {G}}$ muni du produit hermitien défini ci-dessus. Pour cette normalisation, on obtient l'inversion de Fourier annoncée.

Théorème de Plancherel — Avec la définition ci-dessus de ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$, la transformation de Fourier

${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}(G)\to {\rm {L}}^{2}({\widehat {G}})$

est un isomorphisme d'espaces hermitiens (elle transforme les bases orthonormées en bases orthonormées), et elle vérifie

$\forall g\in G,\quad {\widehat {\widehat {f}}}(x)=f(-x)$.

Démonstration

Puisque ${\rm {L}}^{2}(G)$ et ${\rm {L}}^{2}(G)$ sont de même dimension, il suffit de vérifier que les deux transformations de Fourier sont réciproques l'une de l'autre sur une base orthonormée de ${\rm {L}}^{2}(G)$, par exemple celle donnée par les indicatrices. Pour un élément $g\in G$, on calcule que la transformation de Fourier de $\delta _{g}$ est donnée par le conjugué complexe de l'évaluation en $g$ sur ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$, qui n'est autre que le caractère de ${\hat {G}}$ correspondant à $-g$ dans l'identification $G\simeq {\hat {G}}$.

Pour la normalisation choisie, les caractères de ${\hat {G}}$ forment bien une base orthonormée (et pas seulement orthogonale), ce qui montre que la transformation de Fourier est une isométrie.

Avec la normalisation choisie pour ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$, la transformée de Fourier du caractère de ${\hat {G}}$ associé à $-g$ est donnée par l'indicatrice $\delta _{-g}=\delta _{g}(-\cdot )$, ce qui complète la preuve.

Comme pour tout isomorphisme d'espaces hermitiens, la transformée de Fourier vérifie l'égalité de Parseval,

Égalité de Parseval — Avec la définition ci-dessus de ${\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$,

$\forall f_{1},f_{2}\in {\rm {L}}^{2}(G),\quad \langle {\widehat {f}}_{1}\mid {\widehat {f}}_{2}\rangle _{{\rm {L}}^{2}({\hat {G}})}=\langle f_{1}\mid f_{2}\rangle _{{\rm {L}}^{2}(G)}$.

Orthogonal d'un sous-groupe

Soit $\varphi :H\to G$ un morphisme de groupes abéliens finis. Ce morphisme induit un morphisme dual $\varphi ^{*}:{\hat {H}}\to {\hat {G}}$ défini par

$\forall \psi \in {\hat {G}},\quad \varphi ^{*}(\psi )=\psi \circ \varphi \in {\hat {H}}$,

et si $\varphi$ est injectif (resp. surjectif), alors $\varphi ^{*}$ est surjectif (resp. injectif).

Soit maintenant $H$ un sous-groupe de $G$. Nous appellerons groupe orthogonal de $H$, et noterons $H^{\perp }$, le sous-groupe de $G$ constitué des caractères dont le noyau contient $H$, c'est-à-dire des caractères qui valent identiquement $1$ sur $H$.

D'après les théorèmes d'isomorphisme,

• $H^{\perp }$ est isomorphe au dual du groupe quotient $G/H$. En effet, tout caractère trivial sur $H$ induit un caractère de $G/H$ et réciproquement. Le groupe $H^{\perp }$ est donc l'image de l'inclusion ${\widehat {G/H}}\hookrightarrow {\hat {G}}$ induite par la projection canonique $G\to G/H$. En particulier, $H^{\perp }$ est un sous-groupe de ${\hat {G}}$ d'ordre $\vert G\vert /\vert H\vert$.
• Le groupe quotient ${\hat {G}}/H^{\perp }$ est isomorphe à ${\hat {H}}$, puisque $H^{\perp }$ est égal au noyau du morphisme de restriction ${\hat {G}}\to {\hat {H}}$, qui est surjectif car induit par l'inclusion $H\hookrightarrow G$.

Les deux énoncés ci-dessus peuvent également se déduire de l'exactitude de la suite

$0\to {\widehat {G/H}}\to {\hat {G}}\to {\hat {H}}\to 0$,

due à l'injectivité du groupe divisible ℂ*.

Formule sommatoire de Poisson

En lien avec le groupe orthogonal d'un sous-groupe de $G$, la transformation de Fourier vérifie la formule sommatoire de Poisson, qui relie usuellement la transformation de Fourier d'un groupe discret avec celle de son dual, qui est nécessairement compact.

Formule sommatoire de Poisson — Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Tout élément $f$ de ${\rm {L}}^{2}(G)$ vérifie la formule sommatoire de Poisson,

${\frac {1}{\vert H\vert }}\sum _{h\in H}f(h)={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{\psi \in H^{\perp }}{\widehat {f}}(\psi )$.

Démonstration

D'après l'égalité de Parseval,

${\begin{aligned}\vert G\vert \sum _{h\in H}f(h)&=\vert G\vert ^{2}\sum _{h\in H}\langle \delta _{h}\mid f\rangle _{{\rm {L}}^{2}(G)}\\&=|G|^{2}\sum _{h\in H}\langle {\widehat {\delta _{h}}}\mid {\widehat {f}}\rangle _{{\rm {L}}^{2}({\hat {G}})}.\end{aligned}}$

Or, la transformée de Fourier des indicatrices $\delta _{h}$ est donnée, pour tout $\psi \in {\hat {G}}$, par

${\begin{aligned}{\widehat {\delta _{h}}}(\psi )=\vert G\vert \cdot \langle \psi \mid \delta _{h}\rangle ={\overline {\psi (g)}},\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\vert G\vert \sum _{h\in H}f(h)&=\sum _{h\in H}\sum _{\psi \in {\hat {G}}}\psi (h){\widehat {f}}(\psi )\\&=\sum _{\psi \in {\widehat {G}}}{\widehat {f}}(\psi )\sum _{h\in H}\psi (h).\end{aligned}}$

Or, pour $\psi \in {\hat {G}}$,

$\sum _{h\in H}\psi (h)=\vert H\vert \langle \delta _{H}\mid \chi _{\vert H}\rangle _{{\rm {L}}^{2}(H)}={\begin{cases}\vert H\vert &{\text{si}}\quad \chi _{\vert H}{\text{ est trivial,}}\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Enfin, par définition, la restriction de $\psi$ à $H$ est triviale si et seulement si $\psi$ appartient à l'orthogonal de $H$, ce qui achève la démonstration.

Principe d'incertitude

La transformation de Fourier des groupes abéliens finis vérifie le principe d'incertitude, qui énonce grossièrement qu'une fonction et sa transformée de Fourier ne peuvent pas simultanément avoir des supports (ou plutôt des masses) très concentrés. En mécanique quantique, ceci s'interprète par l'impossibilité de déterminer précisément à la fois la position et la vitesse d'une particule.

Pour les groupes abéliens finis, l'espace $G$ étant discret, il existe plusieurs versions possibles du principe d'incertitude. La plus élémentaire énonce que les supports d'une fonction et de sa transformée de Fourier ne peuvent pas simultanément être de petit cardinal. Plus précisément, on a

Principe d'incertitude — Toute fonction $f\in {\rm {L}}^{2}(G)$ vérifie

$\vert {\rm {supp}}\,f\vert \cdot \vert {\rm {supp}}\,{\hat {f}}\vert \geq \vert G\vert$,

où $\vert {\rm {supp}}\,f\vert$ désigne le support de $f$.

Le cas d'égalité de cette inégalité est atteint pour les indicatrices des éléments de $G$. En effet, pour $g\in G$, on a ${\widehat {\delta _{g}}}$ est le caractère $\psi \mapsto {\overline {\psi (g)}}$ de ${\hat {G}}$, et donc $\vert {\rm {supp}}\,\delta _{g}\vert \cdot \vert {\rm {supp}}\,{\widehat {\delta _{g}}}\vert$ est égal à $\vert G\vert$. Plus généralement, si $H$ est un des sous-groupe de $G$, alors l'égalité est atteinte pour l'indicatrice $\delta _{H}$ dont la transformée de Fourier est donnée par $\vert H\vert \cdot \delta _{H^{\perp }}$ l'indicatrice de $H^{\perp }$ (qui est isomorphe à $G/H$).

Applications

Discrétisation de la transformation de Fourier

À ses débuts, l'analyse harmonique des groupes abéliens finis (plus particulièrement des groupes cycliques) a été utilisée pour approcher, par des polynômes trigonométriques finis en cosinus, des fonctions réelles périodiques dont on ne dispose que d'un échantillon fini des valeurs. Les premiers exemples d'utilisation de la transformée discrète remontent à 1754, lorsque le mathématicien Alexis-Claude Clairaut étudie la mécanique des orbites. Ces travaux sont ensuite étendus par Daniel Bernouilli et Joseph-Louis Lagrange en 1759 et 1762. Il est remarquable que ces travaux précèdent ceux de Joseph Fourier sur les séries portant son nom, présentés pour la première fois en 1807.

Plus précisément, soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction paire périodique dont on normalise la période à $1$ (ou de manière équivalente, une fonction du cercle $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$) et que l'on échantillonne à pas fixé ${\frac {1}{N}}$ à des ordonnées $x_{k}={\frac {k}{N}}$, pour $k=0,\ldots ,N-1$. On cherche à interpoler la fonction $f$ comme un polynôme trigonométrique réel en fonction de cet échantillonnage, c'est-à-dire à écrire $f$ sous la forme

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad f(x)\approx \sum _{k=0}^{N-1}a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)$.

Pour que le terme de droite coïncide avec $f$ aux ordonnées $x_{k}$, les coefficients $a_{k}$ recherchés ne sont autres que les parties réelles des valeurs de la transformée de Fourier de l'élément de $\mathbb {C} ^{\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ défini par $k\mapsto f(x_{k})$.

Toujours intéressé par le problème des orbites, Carl Friedrich Gauss généralise les travaux de Lagrange et Clairaut dans son traité Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, publié à titre posthume en 1866, mais vraisemblablement écrit en 1805. Gauss travaille sur des fonctions périodiques générales (et non plus seulement paires ou impaires), et donne pour la première fois des formules explicites pour le calcul des coefficients des polynômes trigonométriques associés. Il est également le premier à développer une méthode de calcul efficace des transformées de Fourier discrètes. Cette méthode, redécouverte près de 150 ans plus tard indépendamment par Danielson et Lanczos (1942) ainsi que par Cooley et Tuckey (1965), est aujourd'hui connue sous le nom de transformation de Fourier rapide.

Arithmétique modulaire

Les caractères des groupes abéliens finis (en particulier des groupes cycliques) ont rapidement été utilisés en arithmétique, particulièrement à travers l'étude du symbole de Legendre, qui est un exemple de caractère du groupe multiplicatif $\mathbb {F} _{p}^{*}$ du corps fini à $p$ éléments (pour $p$ un nombre premier). Gauss donne dès 1807 une preuve de la loi de réciprocité quadratique en utilisant les sommes de Gauss. C'est sa sixième preuve distincte de ce résultat, qu'il avait initialement démontré en 1801.

Il est utilisé pour le calcul des sommes de Gauss ou des périodes de Gauss. Ce caractère est à la base d'une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Caractère de Dirichlet

Soit $N>1$ un entier. Un caractère de Dirichlet modulo $N$ est une application $\chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ induite par un caractère de $(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{*}$ (également noté $\chi$) par $N$-périodicité, en posant $\chi (a)=0$ pour $a\in \mathbb {Z}$ tel que $\mathrm {pgcd} (a,n)\neq 1$.

L'étude des caractères de Dirichlet modulo un nombre premier $p$, en particulier de la non-annulation en $1$ de leur fonction L, est un point clé de la démonstration du théorème de la progression arithmétique, qui affirme que pour tout entier $a$ premier avec $p$, il existe une infinité de nombres premiers $q$ tels que

$q\equiv a\mod p$.

Les caractères de Dirichlet ont un rôle important dans la théorie analytique des nombres particulièrement pour analyser les zéros de la fonction ζ de Riemann^{[réf. nécessaire]}.

Dans la théorie des nombres moderne, les caractères de Dirichlet (et plus généralement les caractères de Hecke) sont omniprésents, notamment à travers le programme de Langlands et l'étude des fonctions L. En effet, d'après la thèse de Tate, leurs relevés adéliques correspondent en effet aux représentations automorphes de ${\rm {GL}}(1)$, le groupe général linéaire de degré $1$. Les caractères de Hecke sont également utilisés pour étudier les représentations automorphes de groupes réductifs plus généraux, notamment les ${\rm {GL}}(n)$. Les courbes elliptiques (et plus généralement les formes modulaires) à multiplication complexe sont par exemple celles issues d'un caractère de Hecke. Une technique usuelle pour étudier la fonction L d'une forme modulaire (et plus généralement d'une représentation galoisienne) est de la tordre par un caractère de Dirichlet. C'est notamment le cas dans le théorème inverse (en) de Weil, qui caractérise les séries de Dirichlet issues d'une forme modulaire de niveau $\Gamma _{0}(N)$ par leurs tordues par les caractères de Dirichlet.

Symbole de Legendre

Dans ce paragraphe, $p$ désigne un nombre premier impair et on considère ici le groupe $G=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, c'est-à-dire le groupe additif sous-jacent au corps fini $\mathbb {F} _{p}$. Le symbole de Legendre désigne la fonction notée $\left({\frac {\cdot }{p}}\right)$ et définie pour tout $a\in \mathbb {F} _{p}$ par

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\text{si }}a\notin \mathbb {F} _{p}^{*},\\1&{\text{si }}a{\text{ n'est pas un carré de }}\mathbb {F} _{p}^{*},\\-1&{\text{sinon}}.\end{cases}}$

La restriction du symbole de Legendre est un caractère de $\mathbb {F} _{p}^{*}=(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$ et peut donc être étendue à $\mathbb {Z}$ en un caractère de Dirichlet.

Proposition — La restriction du symbole de Legendre au groupe multiplicatif $\mathbb {F} _{p}^{*}$ de $\mathbb {F} _{p}$ est l'unique caractère non trivial de $\mathbb {F} _{p}^{*}$ à valeurs dans $\lbrace \pm 1\rbrace \simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Démonstration

Pour montrer que le symbole de Legendre est un morphisme de groupes de $\mathbb {F} _{p}^{*}$ dans $\mathbb {C} ^{*}$ (ce qui suffira à démontrer que c'est un caractère), il faut vérifier que le produit de deux carrés en est un, et que le produit de deux éléments non-carrés est carré.

Dans un groupe abélien, le produit de deux carrés est toujours un carré, puisque $a^{2}b^{2}=abab=(ab)^{2}$. Maintenant, le groupe $\mathbb {F} _{p}^{*}$ étant cyclique (comme tout groupe multiplicatif d'un corps fini), on peut s'en donner un générateur $\omega$. Si $a,b\in \mathbb {F} _{p}^{*}$ sont deux éléments qui ne sont pas carrés, on peut les écrire $a=\omega ^{n}$ et $b=\omega ^{m}$ pour certains entiers $n$ et $m$ impairs. Leur produit vaut alors

$ab=\omega ^{n}\omega ^{m}=\omega ^{n+m}=\left(\omega ^{\frac {n+m}{2}}\right)^{2}$,

car $n+m$ est un entier pair, et $ab$ est ainsi un carré de $\mathbb {F} _{p}^{*}$. On peut aussi utiliser le critère d'Euler.

Pour l'unicité, il suffit de remarquer que si $\psi$ est un caractère non trivial de $\mathbb {F} _{p}^{*}$ à valeurs dans $\lbrace \pm 1\rbrace$, alors à nouveau par la cyclicité de $\mathbb {F} _{p}^{*}$, on remarque

$\forall a=\omega ^{n}\in \mathbb {F} _{p}^{*},\quad \psi (a)=\psi (\omega ^{k})=\psi (\omega )^{k}$.

Ceci impose $\psi (\omega )=-1$ et $\psi$ envoie donc les carrés sur $1$ et les non-carré sur $-1$.

Somme de Gauss

Soit $\psi$ un caractère du groupe additif $(\mathbb {F} _{p},+)$ et $\chi$ un caractère du groupe multiplicatif $(\mathbb {F} _{p}^{*},\times )$. La somme de Gauss associée à $\chi$ et $\psi$ est le nombre complexe, noté $G(\chi ,\psi )$, et défini par

$G(\chi ,\psi )=\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (x)\psi (x)$.

En termes de transformation de Fourier, on peut considérer l'application qui $\psi \mapsto G(\chi ,{\overline {\psi }})$ comme la transformée de Fourier sur ${\rm {L}}^{2}(\mathbb {F} _{p})$ du prolongement de $\chi$ à $\mathbb {F} _{p}$ par l'égalité $\chi (0)=0$. De même, l'application $\chi \mapsto G({\overline {\chi }},\psi )$ est la transformé de Fourier sur ${\rm {L}}^{2}(\mathbb {F} _{p}^{*})$ de la restriction de $\psi$ à $\mathbb {F} _{p}^{*}$.

Les sommes de Gauss sont largement utilisées en arithmétique, par exemple pour le calcul des périodes de Gauss. Elles permettent notamment de déterminer la somme des valeurs du groupe des résidus quadratiques des racines $p$-ièmes de l'unité, et plus généralement de déterminer les racines du polynôme cyclotomique d'indice $p$.

On retrouve également les sommes de Gauss en théorie des nombres, où elles apparaissent comme facteurs constants de l'équation fonctionnelle des fonctions L de Dirichlet. Plus précisément, soit $\chi$ est un caractère primitif de Dirichlet modulo $p$ (et qui est donc induit par un caractère non trivial de $\mathbb {F} _{p}^{*}$, également noté $\chi$). Si l'on note $\tau (\chi )=G(\chi ,\psi _{1})$, avec $\psi _{1}:x\mapsto e^{\frac {2i\pi x}{N}}$, alors la fonction L complétée $\Lambda (\chi ,s)$ de $\chi$ admet l'équation fonctionnelle

$\Lambda (\chi ,s)={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}}\Lambda ({\overline {\chi }},1-s)$,

où $\delta$ est la parité de $\chi$, c'est-à-dire de $\chi (-1)=(-1)^{\delta }$.

Loi de réciprocité quadratique

Les sommes de Gauss ont une application historique importante : la loi de réciprocité quadratique, qui s'exprime de la manière suivante.

Loi de réciprocité quadratique — Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a

$\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {q}{p}}\right)$.

Ce théorème énonce donc que les symboles de Legendre $\left({\frac {p}{q}}\right)$ et $\left({\frac {q}{p}}\right)$ sont égaux, sauf dans le cas où les nombres premiers $p$ et $q$ sont tous les deux « mauvais », c'est-à-dire congrus à $3$ modulo $4$.

Ce théorème est démontré dans l'article Somme de Gauss.

Cas particulier : espace vectoriel fini

Un cas particulier est celui des espaces vectoriels sur un corps fini. Les propriétés des corps finis permettent d'établir les résultats de la théorie sous une forme légèrement différente. Ce cas est utilisé par exemple en théorie de l'information à travers l'étude des fonctions booléennes, correspondant au cas où le corps de base contient deux éléments. La théorie est utilisée pour résoudre des questions de cryptologie notamment pour les boîtes-S, ainsi que pour les chiffrements par flot. L'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini intervient aussi dans le contexte de la théorie des codes et particulièrement pour les codes linéaires, par exemple pour établir l'identité de MacWilliams.

Dualité de Pontryagin

Pour tout groupe abélien localement compact G, le morphisme injectif canonique de G dans son bidual est bijectif. Si G est un groupe abélien fini, il existe même des isomorphismes (non canoniques) de G dans son dual. Dans le cas particulier où G est le groupe additif d'un espace vectoriel fini, c'est-à-dire un groupe abélien élémentaire, on peut construire comme suit certains de ces isomorphismes.

Isomorphisme fondamental

Sur n'importe quel espace vectoriel V de dimension finie, une forme bilinéaire〈 | 〉est non dégénérée si et seulement si l'application x ↦ 〈x〉est un isomorphisme de V dans son espace dual V*.

Dans cet article, V désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps fini F_q de cardinal q. Le symbole ${\hat {V}}$ désigne le groupe dual de V, χ₀ un caractère non trivial du groupe additif de F_q et〈 | 〉une forme bilinéaire non dégénérée sur V.

En ne considérant de l'espace vectoriel V* que son groupe additif, on a :

Le morphisme de groupes $V^{*}\to {\hat {V}},f\mapsto \chi _{0}\circ f$ est un isomorphisme.

En effet, ce morphisme est injectif car de noyau trivial, puisque si f est une forme linéaire non nulle donc surjective, alors le caractère χ₀∘f est, comme χ₀, non trivial. Les deux groupes ayant même ordre qⁿ, ce morphisme injectif est bijectif.

Par composition, on en déduit :

Le morphisme de groupes $U:V\to {\hat {V}}$ défini par

$\forall x,y\in V\quad U_{x}(y)=\chi _{0}(\langle x\mid y\rangle )$

est un isomorphisme.

Orthogonalité relativement à la dualité de Pontryagin

Soit S un sous-ensemble de V. Comme dans le cas général d'un groupe abélien fini, l'orthogonal de S est le sous-groupe S^⊥ de ${\hat {V}}$ constitué des caractères dont le noyau contient S. On définit de plus l'orthogonal de S relativement à^{[réf. nécessaire]} la dualité de Pontryagin associée à (χ₀,〈 | 〉)^[Quoi ?] comme le sous-groupe S° := U⁻¹(S^⊥) de V :

$S^{\circ }=\{x\in V\mid \forall y\in S\quad \chi _{0}(\langle x\mid y\rangle )=1\}$.

On remarque que :

• l'orthogonal à gauche de S relativement à la forme bilinéaire est un sous-espace vectoriel de V inclus dans le sous-groupe S°. Il lui est égal dès que χ₀ est injectif — c'est-à-dire dès que q est premier — mais aussi dès que S est un sous-espace vectoriel ;
• si la forme bilinéaire〈 | 〉est symétrique ou antisymétrique, S°° est le sous-groupe engendré par S ; en effet, ce sous-groupe H est inclus dans H°°, or l'ordre |H°| = |H^⊥| de H° est égal à |V|/|H| et de même, |H°°| est égal à |V|/|H°| donc à |H|, si bien que H = H°° = S°°.

Transformation de Fourier

L'algèbre d'un groupe fini est notée ℂ[G]. La transformation de Fourier, de ℂ[G] dans ℂ[Ĝ], est la bijection linéaire définie par : ${\widehat {a}}(\chi ):=\sum _{y\in G}{\overline {\chi (y)}}a(y)$. La formule de Plancherel est $a={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{\chi \in {\widehat {G}}}{\widehat {a}}(\chi )\chi$ et si ( , )_G désigne le produit hermitien canonique de l'espace vectoriel complexe ℂ[G], l'égalité de Parseval s'écrit : $({\hat {a}}|{\hat {b}})_{\widehat {G}}=|G|~(a|b)_{G}$.

Dans le cas G = V, l'isomorphisme U ci-dessus, de V dans son groupe dual, permet de transporter cette transformation de Fourier en une application de ℂ[V] dans ℂ[V], encore appelée transformation de Fourier et encore notée ^^{[réf. nécessaire]} :

$\forall a\in \mathbb {C} [V]\quad \forall x\in V\quad {\hat {a}}(x):={\hat {a}}(U(x))=\sum _{y\in V}a(y)\chi _{0}(-\langle x\mid y\rangle )$.

L'égalité de Parseval se réécrit alors :

$\forall a,b\in \mathbb {C} [V]\quad ({\hat {a}}\mid {\hat {b}})=q^{n}(a\mid b)$

et la formule de Plancherel :

$\forall a\in \mathbb {C} [V]\quad \forall y\in V\quad a(y)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{x\in V}{\widehat {a}}(x)\chi _{0}(\langle x\mid y\rangle )$.

Formule sommatoire de Poisson

Si W est un sous-groupe de V et $a$ un élément de ℂ[V], alors la formule sommatoire de Poisson prend la forme suivante :

$\sum _{w\in W}a(w)={\frac {1}{|W^{\circ }|}}\sum _{w^{\circ }\in W^{\circ }}{\hat {a}}(w^{\circ })$.

Applications

Fonction booléenne

Il existe un cas particulier, celui où l'espace vectoriel est binaire, c'est-à-dire sur le corps à deux éléments F₂. Dans ce contexte, il n'existe qu'un caractère non trivial, celui qui à l'unité associe –1. La transformation de Fourier prend alors une forme simple et porte le nom de transformée de Walsh.

Il possède de nombreuses applications en théorie des codes. Il sert par exemple en cryptographie pour assurer la sécurité d'un message à l'aide d'une boîte-S dans le cas des algorithmes à chiffrement symétrique.

Identité de MacWilliams

L'analyse harmonique sur les espaces vectoriels finis est aussi utilisée pour les codes correcteurs, particulièrement dans le contexte des codes linéaires.

L'identité de MacWilliams est un exemple ; elle relie le polynôme énumérateur des poids, c'est-à-dire la distribution des poids de Hamming, d'un code linéaire et celui de son dual. Il sert pour l'étude de codes comme celui de Hamming.

Table des principales transformées de Fourier

Normalisation des mesures de Haar

Comme mentionné précédemment, plusieurs conventions sont possibles pour la définition de la transformation de Fourier ${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}(G)\to {\rm {L}}^{2}({\hat {G}})$et de la transformation de Fourier inverse ${\hat {\cdot }}:{\rm {L}}^{2}({\hat {G}})\to {\rm {L}}^{2}(G)$, en fonction du choix des normalisations des mesures de Haar de $G$ et de son dual ${\hat {G}}$. Dans cet article, on considère les normalisations pour lesquelles la mesure de Haar ${\rm {d}}g$ sur $G$ est une mesure de probabilité et la mesure de Haar ${\rm {d}}\chi$ sur ${\hat {G}}$ est duale à ${\rm {d}}g$, c'est-à-dire que les transformations de Fourier vérifient

$\forall f\in {\rm {L}}^{2}(G),\forall g\in G,\quad {\widehat {\widehat {f}}}(g)=f(-g)$.

Table des principales transformées de Fourier

Dans la table suivante, les transformées de Fourier de $f$ et $f_{1},f_{2}$ sont notées ${\widehat {f}}$ et ${\widehat {f_{1}}},{\widehat {f_{2}}}$, peut importe le choix des normalisations des mesures de Haar ${\rm {d}}g$ de $G$ et ${\rm {d}}\chi$ de ${\hat {G}}$. Les transformées de Fourier des fonctions de la première colonne sont données dans les colonnes suivantes selon différentes conventions pour les mesures de Haar ${\rm {d}}g$ et ${\rm {d}}\chi$, caractérisées par les mesures des groupes $G$ et ${\hat {G}}$.

Fonction	Transformée de Fourier, ${\rm {d}}g(G)=1$ et ${\rm {d}}\chi ({\hat {G}})=1/\vert G\vert$	Transformée de Fourier, ${\rm {d}}g(G)=1$ et ${\rm {d}}\chi ({\hat {G}})=1$	Transformée de Fourier, ${\rm {d}}g(G)=1/\vert G\vert$ et ${\rm {d}}\chi ({\hat {G}})=1$	Remarques
$f(g)$	${\widehat {f}}(\chi )=\sum _{g\in G}f(g){\overline {\chi (g)}}$	${\widehat {f}}(\chi )=\sum _{g\in G}f(g){\overline {\chi (g)}}$	${\widehat {f}}(\chi )={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}f(g){\overline {\chi (g)}}$	Définition
$f(g+h)$	$\chi (h){\widehat {f}}(\chi )$	$\chi (h){\widehat {f}}(\chi )$	$\chi (h){\widehat {f}}(\chi )$	Translation
${\widehat {f}}(\chi )$	$f(-g)$	$\vert G\vert \cdot f(-g)$	$f(-g)$	Dualité
$(f_{1}*f_{2})(g)$	${\widehat {f}}_{1}(\chi ){\widehat {f}}_{2}(\chi )$	${\widehat {f}}_{1}(\chi ){\widehat {f}}_{2}(\chi )$	$\vert G\vert ^{2}\cdot {\widehat {f}}_{1}(\chi ){\widehat {f}}_{2}(\chi )$	Convolution
$f_{1}(g)f_{2}(g)$	${\frac {1}{\vert G\vert }}({\widehat {f_{1}}}*{\widehat {f_{2}}})(\chi )$	${\frac {1}{\vert G\vert }}({\widehat {f_{1}}}*{\widehat {f_{2}}})(\chi )$	$({\widehat {f_{1}}}*{\widehat {f_{2}}})(\chi )$	Relation duale de la précédente
$\delta _{h}$	${\overline {\chi (h)}}$	${\overline {\chi (h)}}$	${\frac {1}{\vert G\vert }}{\overline {\chi (h)}}$	Fonction indicatrice
$\psi$	$\vert G\vert \cdot \delta _{\psi }$	$\vert G\vert \cdot \delta _{\psi }$	$\delta _{\psi }$	Avec $\psi$ un caractère de $G$

Voir aussi

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Transformation de Fourier et Séries de Fourier
• Transformation de Fourier discrète et Transformation de Fourier rapide
• Dualité de Pontryagin
• Analyse harmonique non commutative

Liens externes

• C. Bachoc, Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier, Université Bordeaux I
• A. Bechata, « Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs », p. 10-11
• Anthony Carbery, « Harmonic Analysis on Vector Spaces over Finite Fields », p. 4-5.

Ouvrages

• Michel Demazure, Cours d'algèbre : primalité, divisibilité, codes [détail des éditions]
• André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, 2004
• Audrey Terras (1999): Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, London Mathematical Society, Cambridge Univ. Press, (ISBN 978-0-521-45718-7).
• David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, Notices of the AMS, (Nov, 2001), Vol.48, No.10, pp.1151-1161.
• David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, Modern Signal Processing, MSRI Publications, Vol.46,(2003), pp.281-300.
• Rockmore, D.N. (2004). Recent Progress and Applications in Group FFTs. In: Byrnes, J. (eds) Computational Noncommutative Algebra and Applications. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Vol.136, Springer, (ISBN 978-1-4020-1982-1).

Bibliographie

• Audrey Terras, Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts », 1999 (ISBN 978-0-521-45718-7, DOI 10.1017/cbo9780511626265, lire en ligne)
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1997 (ISBN 978-0-521-65818-8, DOI 10.1017/cbo9780511609572, lire en ligne)
• Hugh L. Montgomery et Robert C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2006, 115 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, DOI 10.1017/cbo9780511618314, lire en ligne)
• Dinakar Ramakrishnan et Robert J. Valenza, Fourier analysis on number fields, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 1999 (ISBN 978-0-387-98436-0)