Théorème de Burnside (groupe résoluble)

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William Burnside

En mathématiques, le théorème de Burnside appartient à la théorie des groupes finis. Son énoncé est :

Théorème — Si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre pnqm est résoluble.

Il est nommé en l'honneur de William Burnside, qui l'a démontré en 1905, à l'aide de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Histoire[modifier | modifier le code]

En 1872, Ludwig Sylow énonce[1] trois célèbres théorèmes dont l'un indique le caractère nilpotent et donc résoluble d'un groupe de cardinal pn.

Georg Frobenius démontre en 1895[2] que tout groupe de cardinal pnq est résoluble. Ce résultat est généralisé trois ans plus tard par Camille Jordan au cas où m est égal à deux. C'est en 1905 que William Burnside démontre la véracité du résultat dans le cas où n et m sont quelconques[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration de Burnside utilise beaucoup des méthodes existantes au moment de la rédaction de son article. On trouve bien évidemment la notion de groupe résoluble, mais aussi un théorème de Sylow avec l'utilisation de p-groupes, les classes de conjugaison découvertes par Burnside. Enfin la théorie des représentations d'un groupe fini est largement utilisée avec sa dimension arithmétique[précision nécessaire] qu'Issai Schur venait de découvrir.[réf. souhaitée]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. M. L. Sylow, « Théorème sur les groupes de substitutions », Mathematische Annalen, vol. 5,‎ 1872, p. 584-594.
  2. (de) Georg Frobenius, « Über auflösbare Gruppen, II », dans Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin, 1895, p. 1027-1044.
  3. (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Dover Publications, 2004.
  4. Yvette Kosmann-Schwarzbach (de), Groupes et symétries, Éditions École Polytechnique, 2005 (ISBN 978-2-73021257-1), p. 35.

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]