Théorème de Burnside (groupe résoluble)

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William Burnside.

En mathématiques, le théorème de Burnside appartient à la théorie des groupes finis. Son énoncé est :

Théorème — Si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre pnqm est résoluble.

Il est nommé en l'honneur de William Burnside, qui l'a démontré en 1904, à l'aide de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Histoire[modifier | modifier le code]

À une époque où on sait déjà[réf. souhaitée] que tout groupe fini ayant pour ordre une puissance de nombre premier est résoluble, Georg Frobenius démontre en 1895[1] que tout groupe d'ordre pnq, où p et q sont des nombres premiers, est résoluble. Ce résultat est étendu trois ans plus tard par Camille Jordan aux groupes d'ordre pnq2. C'est en 1904 que Burnside démontre le théorème général ci-dessus[2].

On resta environ soixante-cinq ans sans connaître une démonstration de ce théorème indépendante de la théorie des caractères des représentations. John Griggs Thompson ayant indiqué, sans développer, qu'une telle démonstration pouvait être tirée de l'article contenant la démonstration du théorème de Feit et Thompson et d'un autre article publié par Thompson, David Goldschmitt (en) publia en 1970 une démonstration indépendante des caractères, mais limitée aux groupes d'ordre impair. En 1972, Helmut Bender (de) donna, toujours sans utiliser les caractères, une démonstration du théorème complet[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration de Burnside utilise beaucoup des méthodes existant au moment de la rédaction de son article. On trouve bien évidemment la notion de groupe résoluble, mais aussi un théorème de Sylow avec l'utilisation de p-groupes, les classes de conjugaison découvertes par Burnside. Enfin la théorie des représentations d'un groupe fini est largement utilisée avec sa dimension arithmétique[précision nécessaire] qu'Issai Schur venait de découvrir.[réf. souhaitée]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) G. Frobenius, « Über auflösbare Gruppen, II », Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin, 1895, p. 1027-1044.
  2. (en) W. Burnside, « On groups of order pαqβ », Proc. London Math. Soc., vol. s2-1, no 1,‎ , p. 388-392 (DOI 10.1112/plms/s2-1.1.388).
  3. Joseph A. Gallian, « The Search for Finite Simple Groups », Mathematics Magazine, vol. 49, 1976, p. 163-179, ce passage p. 170, en ligne.
  4. Yvette Kosmann-Schwarzbach (de), Groupes et symétries, Éditions École Polytechnique, 2005 (ISBN 978-2-73021257-1), p. 35 sur Google Livres.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]

Liens externes[modifier | modifier le code]