Représentation de groupe

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En mathématiques, l'idée générale de la théorie des représentations est d'étudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manière linéaire : on essaie ainsi de voir G comme un groupe de matrices (d'où le terme représentation). On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver à déduire quelques propriétés de G.

Réciproquement, en tant qu'objets de la théorie, et non plus comme outil, théorie, on est naturellement amené à la question : quelle est la dimension minimale des matrices (cas fini) qui font représenter tel sous-groupes de GLn(R) ; peut-on alors imposer aux coefficients de la matrice d'être entiers ?

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe, K un corps commutatif et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation du groupe G une action linéaire de G sur V, autrement dit un morphisme de groupes de G dans le groupe linéaire GL(V). Plus explicitement, c'est une application

\rho~:~G\to\mathrm{GL}(V)\quad\text{telle que}\quad\rho(g_1)\circ\rho(g_2)=\rho(g_1 g_2).

Pour qu'une application ρ de G dans l'espace des endomorphismes de V vérifiant ρ(g1)∘ρ(g2)=ρ(g1g2) soit en fait à valeurs dans GL(V), il suffit que l'un des ρ(g) soit un automorphisme.

Pour écrire l'action d'un élément g du groupe sur un élément v de l'espace vectoriel à travers la représentation \rho, on notera parfois \rho(g)(v) ,  \rho(g).v ou même  g.v s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation  (V,\rho). On dit parfois également (et abusivement) que V est une représentation de G.

Un morphisme de représentations de G, ou « opérateur d'entrelacement », d'une représentation (V,\rho) vers une représentation (W,\sigma), est une application K-linéaire φ de V dans W telle que pour tout g appartenant à G on ait

\varphi\circ\rho(g)=\sigma(g)\circ\varphi.

On dit alors aussi que φ est un morphisme G-équivariant de V dans W.

Un cas important est celui où φ est un isomorphisme : les représentations (V,\rho) et (W,\sigma) sont dites isomorphes ou équivalentes s'il existe un isomorphisme φ de V dans W qui soit G-équivariant, c'est-à-dire qui vérifie, pour tout g appartenant à G :

\rho(g)=\varphi^{-1}\circ\sigma(g)\circ\varphi.

V et W ont alors même dimension.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La représentation unité de G sur la droite vectorielle K est celle qui à tout élément de G associe l'identité de K.
  • Si G est un sous-groupe de GLn(K), G agit naturellement sur Kn. La représentation associée est appelée représentation standard.
  • Si G est le groupe cyclique fini ℤ/nℤ, la donnée d'une représentation de G sur V équivaut au choix d'un élément f de GL(V) tel que f n = idV.
  • À partir d'une action de G sur un ensemble X, on peut définir une représentation de G sur l'espace KX des applications de X dans K, en posant :
    \left(\rho(g)(f)\right)(x)=f(g^{-1}.x)
    et la restreindre à divers sous-espaces stables, comme :

Glossaire des représentations[modifier | modifier le code]

  • Comme toute action de groupe, la représentation est dite fidèle si le morphisme ρ est injectif. Cette notion est différente de celle de module fidèle : le K-espace vectoriel de la représentation étant un module sur l'algèbre K[G] du groupe G (cf. infra), si ce module est fidèle alors la représentation de G est fidèle, mais la réciproque est fausse.
  • La représentation est dite matricielle si l'espace V est de la forme Kn pour un certain entier naturel n, auquel cas le groupe (GLn(V),∘) s'identifie canoniquement au groupe GLn(K) des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K inversibles (autrement dit : de déterminant non nul), muni du produit matriciel. Via cette identification, deux représentations matricielles R et S sont donc équivalentes si et seulement s'il existe une matrice inversible P telle que pour tout élément g de G, Rg=P -1.Sg.P.
  • La dimension de V est appelée degré de la représentation. Si V est de dimension finie n (ce que l'on suppose toujours implicitement dans la théorie des représentations d'un groupe fini), la représentation est équivalente à une représentation matricielle, via le choix arbitraire d'un isomorphisme φ de Kn dans V.
  • Une sous-représentation de (V, ρ) est la représentation (W,σ) obtenue par restriction à un sous-espace vectoriel W stable sous l'action de G.
  • Une représentation de degré non nul est dite irréductible si elle n'admet pas d'autre sous-représentation qu'elle-même et la représentation de degré nul, autrement dit si V n'a pas de sous-espace propre stable par l'action de G. En termes matriciels, cela signifie qu'on ne peut pas trouver de base dans laquelle la représentation de G soit donnée par des matrices ayant toutes la même structure triangulaire supérieure par blocs (avec au moins deux blocs diagonaux).
  • La somme directe d'une famille de représentations (Vi, ρi) de G est la représentation ρ sur l'espace vectoriel somme directe des Vi définie par : ρ(g) = ⊕i ρi(g). En termes matriciels, cela signifie qu'en juxtaposant des bases des Vi pour former une base de leur somme directe, la représentation ρ est faite par des matrices diagonales par blocs, chaque bloc correspondant à l'une des représentations ρi.
  • Une représentation est dite complètement réductible si elle est somme directe de représentations irréductibles.
  • Deux représentations sont dites disjointes si elles n'ont aucune composante irréductible commune, ou encore s'il n'existe aucun morphisme non nul entre elles.
  • Si V est un espace de Hilbert dont le produit scalaire est invariant sous l'action de G, on dit que la représentation est unitaire (en).
  • Si G est un groupe topologique et V un espace vectoriel topologique, la représentation ρ est une représentation continue si l'application G × V → V, (g, v) ↦ g.v est continue.

Lien avec les K[G]-modules[modifier | modifier le code]

La K-algèbre de G, notée K[G] et constituée des combinaisons linéaires finies formelles d'éléments de G à coefficients dans K, est une K-algèbre associative dont la multiplication étend naturellement la loi du groupe G.

On peut alors étendre, et ce de façon unique, la représentation \rho en un morphisme de K-algèbres de K[G] vers End(V), en posant

\rho\left(\sum_{g\in G}a_gg\right)=\sum_{g\in G}a_g\rho(g).

Ceci fait de V un K[G]-module. On dit également que V est un G-module (en).

Réciproquement, la donnée d'un K[G]-module fournit une représentation de G.

Via ce « dictionnaire » :

  • un morphisme de représentations correspond à un morphisme de K[G]-modules ;
  • la représentation régulière (cf section « Exemples » ci-dessus) correspond à la structure naturelle de K[G] vu comme module à gauche sur lui-même ;
  • une représentation (V,\rho) est irréductible si et seulement si V est simple en tant que K[G]-module ;
  • elle est complètement réductible si et seulement si V est semi-simple.

Irréductibilité[modifier | modifier le code]

Le fait de considérer des représentations irréductibles permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, d'après le lemme de Schur, un morphisme entre deux modules simples est soit nul, soit inversible.

On peut souvent ramener l'étude des représentations de G à l'étude de ses représentations irréductibles : si V n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.

Théorème de Maschke — Si G est un groupe fini et si la caractéristique de K ne divise pas card(G), alors tout K[G]-module est semi-simple (ou de façon équivalente : toute représentation de G sur un K-espace vectoriel est complètement réductible).

Ce théorème se généralise partiellement aux représentations continues de groupes compacts.

Si G est un groupe fini, toute représentation irréductible complexe (de degré fini) de G est équivalente à une sous-représentation de la représentation régulière.