Groupe des quaternions

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Graphe des cycles de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d'un élément quelconque connecté à l'élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i 2 = -1, i 3 = -i  et i 4 = 1. Le cycle rouge reflète aussi le fait que (-i )2 = -1, (-i )3 = i  et (-i )4 = 1.

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8.

La représentation du groupe des quaternions irréductible de degré 4 sur les nombres réels forme[pas clair] un corps gauche, c'est-à-dire non commutatif. Il est appelé corps des quaternions.

Définition[modifier | modifier le code]

Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symbole Q ou Q8 et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants :

Ici, 1 est l'élément neutre, et pour tout a dans Q. Les règles de multiplication restantes peuvent être obtenues à partir de la relation suivante :

Table du groupe[modifier | modifier le code]

La table de multiplication pour Q est donnée par :

1 i j k -1 -i -j -k
1 1 i j k -1 -i -j -k
i i -1 k -j -i 1 -k j
j j -k -1 i -j k 1 -i
k k j -i -1 -k -j i 1
-1 -1 -i -j -k 1 i j k
-i -i 1 -k j i -1 k -j
-j -j k 1 -i j -k -1 i
-k -k -j i 1 k j -i -1

Le groupe ainsi obtenu est non abélien, comme on peut le voir sur la relation . Cependant Q est un groupe hamiltonien : tout sous-groupe de Q est normal, mais Q est non abélien. Tout groupe hamiltonien contient une copie de Q.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Représentation[modifier | modifier le code]

Considérant un espace vectoriel réel de dimension 4 dont une base est notée {1, i, j, k}, on le munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps gauche appelé les corps des quaternions. Inversement, on peut démarrer avec les quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments .

La théorème d'Artin-Wedderburn généralise cette approche. Il permet, avec la théorie des représentations d'un groupe fini de construire des algèbres semi-simples contenant un corps gauche, c'est-à-dire non commutatif.

Nature du groupe[modifier | modifier le code]

Les trois éléments i, j et k sont tous d'ordre 4 dans Q et deux quelconques d'entre eux engendrent le groupe entier. Q admet la présentation

On peut prendre, par exemple, x = i et y = j.

Tous les sous-groupes propres de Q sont cycliques.

Le centre et le sous-groupe des commutateurs de Q est le sous-groupe {±1}. Le groupe quotient Q/{±1} est isomorphe au groupe de Klein V. Il y a cinq classes de conjugaison : {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j} et {k, -k}.

Le groupe des automorphismes intérieurs de Q est isomorphe à Q modulo son centre, et est par conséquent aussi isomorphe au groupe de Klein. Le groupe des automorphismes de Q est isomorphe au groupe symétrique S4. Le groupe des automorphismes extérieurs de Q est alors S4/V qui est isomorphe à S3.

Le groupe des quaternions Q peut aussi être vu comme un sous-groupe normal d'indice 3 du groupe linéaire GL(2, F3)[1].

Groupe de quaternions généralisé[modifier | modifier le code]

Les groupes de quaternions généralisés sont les 2-groupes dicycliques, c'est-à-dire que (pour n ≥ 3), le groupe de quaternions généralisé d'ordre 2n est le groupe de présentation

Le groupe de quaternions ordinaire correspond au cas n = 3. Le groupe peut être réalisé comme le sous-groupe des quaternions unitaires engendré par et .

Le quotient de par son centre est isomorphe au groupe diédral [2] donc est nilpotent de classe n – 1.

Les groupes de quaternions généralisés ont la propriété que chaque sous-groupe abélien est cyclique. On peut prouver[3] qu'un p-groupe fini possédant cette propriété (chaque sous-groupe abélien est cyclique) est soit un groupe cyclique, soit un groupe de quaternions généralisé.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quaternion group » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour une image, voir Visualisation de GL(2,p).
  2. (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1995, 4e éd., exerc. 4.42, p. 88.
  3. Pour une démonstration, voir par exemple (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, (lire en ligne), p. 278-284, théorème 6.12, p. 189 (dont le présent énoncé se déduit immédiatement), ou encore (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher (de), The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, (lire en ligne), énoncé 5.3.8, p. 115.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Vipul Naik, « Quaternion group », sur groupprops