Représentation régulière

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En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, les représentations régulières (gauche et droite) d'un groupe G sont les représentations de G associées aux deux actions (à gauche et à droite) de G sur lui-même par translation. Si G est un groupe fini ce sont, pour un corps fixé K, deux actions linéaires de G sur le K-espace vectoriel KG des applications de G dans K. Si G est un groupe localement compact, ce sont deux représentations continues unitaires (en) de G sur un certain espace de Hilbert inclus dans G.

Définition[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Représentation de groupe.
\forall g,h\in G,\quad\forall f\in K^G,\qquad\rho_g(f)(h)=f(hg).
  • En particulier les fonctions δk pour k∊G, qui sont définies par
    \forall h\in G,\qquad\delta_k(h)=\begin{cases}1\quad\text{si}\quad h=k\\0\quad\text{sinon}\end{cases}
    et qui, lorsque G est fini, forment la base canonique de KG, sont permutées par ces deux actions de G :
    \forall g,k\in K^G,\qquad\lambda_g(\delta_k)=\delta_{gk}\quad\text{et}\quad\rho_g(\delta_k)=\delta_{kg^{-1}}.
  • La représentation régulière gauche est la plus utilisée, et souvent appelée simplement « la » représentation régulière. La droite lui est équivalente, par l'isomorphisme d'entrelacement
    \widetilde{}~:~K^G\to K^G,\quad f\mapsto\left(\tilde f:G\to K,h\mapsto f(h^{-1})\right).

Groupe fini[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe fini d'ordre g et d'élément neutre noté 1. Les propriétés décrites pour la représentation régulière gauche λ sont (par équivalence) aussi vérifiées pour la droite.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • La représentation régulière est fidèle.

En effet λ est injective, puisque tout élément s de G est entièrement déterminé par λs et même par λs1), qui est égal à δs.

  • Le caractère χ de la représentation régulière est égal à gδ1.

En effet, le fait que χ(1) = g, la dimension de l'espace, est une propriété générale à tous les caractères, et pour tout autre élément s de G, χ(s) est nul car c'est la trace d'une matrice de permutation (la matrice de λs dans la base canonique) qui ne comporte que des zéros sur la diagonale.

Dans la suite de cette section, on suppose que la caractéristique p de K ne divise pas g (autrement dit : que g est inversible dans K) et que le polynôme Xg - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G).

Algèbre d'un groupe[modifier | modifier le code]

L'espace vectoriel KG peut être muni d'un produit de convolution qui en fait une K-algèbre, notée K[G]. La donnée d'une représentation de G équivaut alors à celle d'un K[G]-module. Le module qui correspond à la représentation régulière est la structure naturelle de K[G] vue comme module à gauche sur elle-même.

Le théorème de Maschke montre que (si p ne divise pas g) toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles, ce qui se traduit par le fait que tout K[G]-module est un module semi-simple, c'est-à-dire une somme directe de modules simples, ou encore : K[G] est une algèbre semi-simple.

Nombre de représentations irréductibles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Module semi-simple.

Un étude plus complète de la structure de l'algèbre K[G] permet de montrer (sous les hypothèses ci-dessus) que pour le module qui correspond à la représentation régulière, la décomposition est la suivante :

Autrement dit : le groupe n'a qu'un nombre fini h de représentations irréductibles (Si, ρi), et les composantes isotypiques de la représentation régulière sont équivalentes à :

(S_i,\rho_i)\oplus\ldots\oplus(S_i,\rho_i)\quad(d_i\text{ fois}),\quad\text{avec}\quad d_i=\dim(S_i).

Cette propriété est utile, par exemple pour déterminer la table des caractères d'un groupe, comme les groupes alternés d'indices 4 et 5, les groupes symétriques S3 et S4 ou encore du groupe simple d'ordre 168.

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction centrale d'un groupe fini.

Comme toute représentation de G, (KG, λ) est somme directe de ses composantes isotypiques. Puisque la multiplicité mi de ρi dans sa i-ème composante isotypique est égale au degré di de ρi, l'examen des dimensions fournit l'identité remarquable :

g=\sum_{i=1}^hm_id_i=\sum_{i=1}^hd_i^2.

Une version « modulo la caractéristique p du corps » (donc plus faible si p>0) des identités mi=di et g=∑di2 peut s'obtenir directement en utilisant le fait que les caractères irréductibles χ1, …, χh forment une base orthonormée des fonctions centrales, pour la forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur KG définie par

(f|h)=\frac1g\sum_{s\in G}f(s)h(s^{-1}),

et on obtient par la même occasion :

\forall s\in G^*,\qquad\sum_{i=1}^hd_i\chi_i(s)=0.

Produit hermitien[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit hermitien G-invariant.

Si K est un sous-corps du corps ℂ des nombres complexes, toute représentation (V, ρ) de G possède un produit hermitien sur V qui est G-invariant, c'est-à-dire tel que tous les ρs (quand s parcourt G) soient des isométries. Dans le cas de la représentation régulière, un produit hermitien sur KG qui remplit cette fonction est celui pour lequel la base canonique (δk)k∊G est orthonormée.

Groupe localement compact[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]