Théorème de Lucas

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne la théorie des nombres. Pour le théorème en analyse complexe, voir Théorème de Gauss-Lucas.

En théorie des nombres, le théorème de Lucas exprime le reste de la division du coefficient binomial \tbinom{m}{n} par un nombre premier p en termes du développement en base p des entiers m et n.

Le théorème de Lucas a été publié en 1878 par Édouard Lucas[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour des entiers m et n positifs ou nuls et un nombre premier p, on a la relation de congruence suivante :

\binom{m}{n}\equiv\prod_{i=0}^k\binom{m_i}{n_i}\pmod p,

m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_1p+m_0,

et

n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_1p+n_0

sont les développements respectifs de m et n en base p.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Un coefficient binomial \tbinom{m}{n} est divisible par un nombre premier p si et seulement si au moins un chiffre de n en base p est plus grand que le chiffre correspondant de m.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas' theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. [lire en ligne] :
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 2,‎ 1878, p. 184-196 (DOI 10.2307/2369308) lien Math Reviews (part 1) ;
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 3,‎ 1878, p. 197-240 (DOI 10.2307/2369311) lien Math Reviews (part 2) ;
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 4,‎ 1878, p. 289-321 (DOI 10.2307/2369373) lien Math Reviews (part 3).