Théorème de Rolle

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Rolle (souvent mentionné sous le nom de lemme de Rolle), en référence à Michel Rolle, est un résultat fondamental concernant la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. Selon lui, si une fonction dérivable prend la même valeur en deux points, alors sa dérivée s'annule au moins une fois entre ces deux points.

Énoncé

Illustration du théorème de Rolle. Ici, trois valeurs c vérifient le théorème.

Le théorème de Rolle s'énonce de la façon suivante :

Théorème —  Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que $f(a)=f(b).$ Alors, il existe (au moins) un réel c dans ]a, b[ tel que $f'(c)=0.$

Remarques

Le théorème de Rolle ne heurte pas l'intuition :

• dire qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle, c'est dire qu'il existe un point où la tangente à la courbe y=f(x) est horizontale ;
• dire que la fonction est dérivable sur l'intervalle, c'est dire que sa représentation graphique n'a pas de discontinuités, ni même de points anguleux.

Les hypothèses nous garantissent par le théorème des bornes que la fonction a un minimum et un maximum. Il y a donc bien un point c entre a et b tel que f(c) soit un maximum ou un minimum. En un tel point, la tangente à la courbe est horizontale.

Ce théorème permet d'intégrer les nécessaires propriétés topologiques des nombres réels dans l'analyse des fonctions réelles d'une variable réelle. Les propriétés topologiques sont intégrées à la démonstration à travers le théorème des bornes.

Le théorème de Rolle ne s'étend pas aux fonctions d'une variable réelle et à valeurs vectorielles. Ainsi, la fonction dérivable de ℝ dans ℂ définie par f(t) = e^it satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée, f ' (t) = i e^it, ne s'annule pas.

Applications

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème des accroissements finis (dont il est un cas particulier, d'où son appellation fréquente de lemme de Rolle) ; ce dernier théorème sert à son tour à construire le développement limité d'une fonction et à établir le théorème de Taylor. C'est la raison pour laquelle le théorème de Rolle est incontournable dans la construction de l'analyse.

Si P est un polynôme réel ayant au moins p racines réelles distinctes, alors son polynôme dérivé a au moins p – 1 racines réelles distinctes.

Histoire

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Michel Rolle proposa une première démonstration de ce théorème à la fin du XVII^e siècle. Cependant, à cette époque, ce théorème était algébrique et ne concernait en rien l'analyse. En effet, il n'était formulé que dans le cadre des polynômes. Deux contemporains de Rolle, Newton et Leibniz, fondent le calcul infinitésimal. Et personne n'est en mesure de comprendre que ce théorème deviendra plus tard l'un des piliers de l'analyse des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles. Plus grave encore, Michel Rolle jugea les travaux de calcul infinitésimal comme imprécis et défectueux. Il est vrai que selon nos critères actuels, ou même selon les critères que l'algèbre avait atteints à cette époque, en matière de logique et de formalisation, Michel Rolle avait raison. En revanche, les résultats de Newton et Leibniz étaient essentiellement justes et surtout fondateurs d'une nouvelle approche des plus fécondes dans l'histoire des mathématiques. Il ne s'en rendit compte qu'à la fin de sa vie, mais sans imaginer le destin que pourrait avoir le théorème qui porte désormais son nom.

Cette époque n'était pas mûre pour voir apparaître une formalisation rigoureuse de l'analyse. L'absence d'une compréhension profonde de la nature des nombres réels et, en conséquence, du concept de continuité ne permettait pas un progrès aussi rapide. Il fallut donc attendre un siècle et demi pour que l'énoncé de ce théorème soit subtilement modifié. En 1860 Pierre-Ossian Bonnet généralise le théorème aux fonctions dérivables. Cette généralisation change du tout au tout le statut de ce théorème. D'un résultat un peu anecdotique sur la théorie des polynômes réels, ce théorème devient une incontournable base de l'analyse réelle.

Démonstration

Si f est constante, la dérivée de f est nulle sur l'intervalle ouvert, donc la conclusion du théorème de Rolle est bien satisfaite. Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b], elle admet et atteint (d'après le théorème des bornes) un minimum global et un maximum global. Comme f n'est pas constante, le minimum global et le maximum global sont différents. Par conséquent, le minimum global et le maximum global ne sont pas tous deux égaux à f(a) = f(b). Ainsi, l'un au moins de ces deux extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[ .

On suppose ici, sans perte de généralité, que f(c) est maximum global. Les taux d'accroissement de la fonction f entre c et un deuxième point ont alors un signe connu :

• pour h strictement positif et tel que c + h appartienne à l'intervalle [a, b] $\frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0.$ En considérant la limite quand h tend vers 0 par valeurs positives, on déduit que le nombre dérivé $\scriptstyle\ f'(c)\$ est négatif ;
• pour h strictement négatif et tel que c + h appartienne à l'intervalle [a, b] $\frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0.$ En considérant la limite quand h tend vers 0 par valeurs négatives, on déduit que le nombre dérivé $\scriptstyle\ f'(c)\$ est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f au point c, étant à la fois positive et négative, est donc nulle.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec la seule différence que les signes des taux de variation sont les signes opposés à ceux de la démonstration qui précède.

C'est parce que c appartient à l'intervalle ouvert ]a,b[ que l'on a pu considérer ces taux d'accroissements : si c était égal à b le premier taux d'accroissement n'aurait pas de sens et si c était égal à a c'est le second taux d'accroissement qui ne serait pas défini.

Généralisation

Soient –∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f : ]a, b[ → ℝ dérivable et possédant en a et b une même limite L (éventuellement infinie). Alors il existe un réel c dans ]a, b[ tel que f' (c) = 0.

Cette généralisation se déduit du théorème usuel en conjuguant f par un difféomorphisme entre ℝ et un intervalle borné, pour ramener les valeurs éventuellement infinies de a, b et L à des valeurs finies.

Démonstration

En posant

$\arctan(-\infty)=-\pi/2,~\arctan(+\infty)=\pi/2,~a'=\arctan(a),~b'=\arctan(b),$

l'application

$g:=\arctan\circ f\circ\tan :]a',b'[\to]-\pi/2,\pi/2[$

est dérivable et prolongeable par continuité par

$g(a')=g(b')=\arctan(L).$

On peut donc lui appliquer le théorème de Rolle usuel :

$\exists c'\in]a',b'[, g'(c')=0$

d'où, en posant

$c=\tan(c')~:\quad c\in]a,b[\text{ et }f'(c)=0.$

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Indice de Voorhoeve (en)