Théorème de Sturm

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne les fonctions polynômes. Pour les équations différentielles, voir Théorie de Sturm-Liouville.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Sturm, établi en 1829 par Charles Sturm, permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynôme comprises dans un intervalle donné.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle [a,b] d'un polynôme à coefficients réels, dont a et b ne sont pas des racines, est égal à la différence du nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.

Suite de Sturm[modifier | modifier le code]

La suite de Sturm ou chaîne de Sturm est construite à partir du polynôme P_0=P~ et de sa dérivée P_1=P^\prime

P=x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1 x + a_0
P^\prime=nx^{n-1} + \ldots + a_1

C'est la suite de résultats intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'algorithme d'Euclide à P_0~ et sa dérivée P_1~.

Pour obtenir cette suite on calcule :

\begin{matrix}
P_0&=&P_1 Q_1 - P_2\\
P_1&=&P_2 Q_2 - P_3\\
&\ldots&\\
\end{matrix}

Les P_i sont donc les opposés des restes successifs de la division des deux termes précédents de la suite. Si P possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, P admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1 que l'on obtient en divisant les P_1, P_2, \ldots, P_{r-1} par P_{r-1}~.

Si on note \sigma(\xi)~ le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la suite

P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi).

le théorème de Sturm nous dit que pour deux nombres réels a, b, a<b, où a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle [a,b] est :

\sigma(a)-\sigma(b)~.

On peut utiliser ce théorème pour calculer le nombre total de racines réelles distinctes, en choisissant les bornes a et b de telle sorte que toutes les racines réelles soient dans l'intervalle [a,b] : par exemple [a,b]=[-M, M] convient, avec, au choix[1] :

M=1+{\max}_{i=0}^{n-1}|a_i|[2] ou M=\max\left(1,\sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\right)[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]


  1. Pour d'autres exemples, voir l'article Propriétés des racines de polynômes (en).
  2. Augustin Louis Cauchy, « Sur la résolution des équations numériques et sur la théorie de l'élimination », dans Exercices de mathématiques,‎ 1829 (lire en ligne), p. 92
  3. (en) Holly P. Hirst et Wade T. Macey, « Bounding the Roots of Polynomials », The College Mathematics Journal, MAA, vol. 28, no 4,‎ septembre 1997, p. 292-295 (DOI 10.2307/2687152)