Tangram

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Le carré de base
Figure de tangram représentant un homme

Le tangram (en chinois : 七巧板 ; pinyin : qī qiǎo bǎn, Wade-Giles : ch'i ch'iao pan), « sept planches de la ruse », ou jeu des sept pièces, est une sorte de puzzle chinois. C'est une dissection du carré en sept pièces élémentaires. Des dissections plus générales, de formes différentes, sont également appelées tangrams.

L'origine du mot « tangram » semble être occidentale : il serait composé de « tang », en référence à la dynastie Tang, et de « gram » provenant du grec, rappelant le caractère dessiné des figures.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'âge du jeu de tangram, appelé en chinois « qī qiǎo bǎn » (prononcé approximativement tchi tchiao pan, « Les sept plaques de l’habileté », en raison des 7 plaques utilisées, n'est pas connu, mais il semble remonter à la haute Antiquité. Les premiers ouvrages connus le décrivant remontent à la fin du XVIIIe siècle[Lesquels ?]. Ce jeu est donc dans le domaine public.

La légende dit qu'un empereur chinois du XVIe siècle du nom de « Tan », fit tomber un carreau de faïence qui se brisa en 7 morceaux. Il n'arriva jamais a rassembler les morceaux pour reconstituer le carreau mais l'homme s'aperçut qu'avec les 7 pièces il était possible de créer de formes multiples, d'où l'origine du jeu de tangram.[Qui ?]

Description[modifier | modifier le code]

Le tangram se compose de sept pièces qui peuvent se juxtaposer pour former un grand carré de surface 16 :

  • 5 triangles isocèles rectangles, de trois tailles différentes :
    • deux petits de surface 1,
    • un moyen de surface 2 (longueurs des côtés multipliées par √2 par rapport aux petits, son petit côté correspond à l'hypoténuse des petits triangles),
    • deux de surface 4 (longueurs des côtés multipliées par √2 par rapport au moyen ou par 2 par rapport aux petits) ;
  • 1 carré, de surface 2, dont le côté correspond aux petits côtés d'un petit triangle ;
  • 1 parallélogramme (ni carré ni losange), de surface 2, dont les côtés correspondent, par rapport au petit triangle, dans un sens au petit côté et dans l'autre sens à l'hypoténuse.

Chaque pièce peut se faire recouvrir par un nombre entier d'exemplaires du petit triangle, qui est donc l'unité de base du découpage. L'aire totale du tangram est 16 fois l'aire de ce petit triangle.

Le parallélogramme est la seule pièce chirale : pour le faire correspondre à son image dans un miroir il faut le retourner par la troisième dimension. Pour certaines figures, le sens adopté pour cette pièce détermine le sens de la figure complète (exemple : l'homme qui court), alors que d'autres figures peuvent s'obtenir quelle que soit la position adoptée pour cette pièce (exemple : le carré de base). Dans le premier cas, reproduire le modèle suppose d'adopter exactement le même sens pour cette pièce, mais comme ce sens n'est pas connu la règle du jeu autorise un retournement.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Il peut être utilisé de deux façons différentes :

  • comme casse-tête ;
  • comme matériel d'évaluation de la flexibilité, de la fluidité et de l'originalité créative.

Le casse-tête[modifier | modifier le code]

Quatre exemples de modèles reproduits à échelle identique

Dans cette fonction casse-tête, le but du jeu est de reproduire une forme donnée, généralement choisie dans un recueil de modèles. Les règles sont simples : on utilise toujours la totalité des pièces qui doivent être posées à plat et ne pas se superposer.

Les modèles sont très nombreux, on en répertorie presque 2 000 dont certains extrêmement difficiles. On peut les classer en deux catégories : les modèles géométriques et les modèles figuratifs.

Un grand nombre de figures géométriques peuvent être reproduites, mais certaines sont très représentatives des rapports mathématiques et géométriques liant les différents éléments. Une réflexion sur certaines figures permet d'en déduire des théorèmes géométriques d'une façon visuelle.

L'évaluation de la créativité[modifier | modifier le code]

Le tangram peut aussi être employé pour évaluer facilement la créativité imaginative d'un individu et ses trois composantes clés :

  • le nombre de thèmes différents (maison, animaux, personnages, etc.) qu'il aborde permet d'apprécier sa flexibilité créative ;
  • le nombre de figures qu'il imagine ou retrouve pour chaque thème, sa fluidité créative ;
  • la fréquence comparée de ses productions avec les fréquences d'un groupe de référence son originalité créative.

Nombre de configurations[modifier | modifier le code]

Plus de 5 900 différents problèmes de Tangram ont été édités depuis le XIXe siècle, et ce nombre ne cesse de croître[1].

On peut classer les motifs connexes obtenus en plusieurs catégories.

Les motifs généraux[modifier | modifier le code]

Ce sont les motifs connexes, c'est-à-dire d'un seul tenant, obtenus en utilisant sans recouvrement toutes les pièces une et une seule fois.

Le nombre de motifs généraux est infini non dénombrable ; ces motifs peuvent différer par des variations continues (translation ou rotation) d'une ou de plusieurs pièces.

Les motifs propres[modifier | modifier le code]

Ce sont les motifs généraux dont le bord est topologiquement équivalent à un cercle.

Le nombre de motifs propres est infini non dénombrable ; ces motifs peuvent différer par des variations continues (translation ou rotation) d'une ou de plusieurs pièces.

Le nombre maximal de côtés d'un motif propre est 50.

Les motifs bien arrangés[modifier | modifier le code]

Nombre de motifs bien arrangés
Nombre de côtés des motifs Nombre correspondant de motifs bien arrangés
3 ?
4 ?
5 22
6 200
7 1 245
8 6 392
9 27 133
18 ?
quelconque 4 842 205

Cette catégorie de motifs est aussi dénommée par l'anglicisme snug-motif.

Pour la définir, il faut préalablement remarquer que les sept pièces du Tangram sont toutes constituées d'un assemblage d'un, deux ou quatre triangle(s) identique(s) aux deux plus petites pièces du Tangram, appelés triangle t. Le mathématicien Ronald C. Read (voir : Ronald C. Read) définit les motifs bien arrangés comme des motifs propres tels que si deux pièces ont un segment en commun alors il existe dans leurs décompositions en triangles t au moins un côté commun pour deux triangles t issus respectivement de ces deux pièces.

Le nombre de motifs bien arrangés est fini. On peut aisément le majorer par 3012.[Quoi ?] Ronald C. Read démontra à l'aide d'un programme en 2004 qu'il y avait exactement 4 842 205 motifs bien arrangés.

Le nombre maximal de côtés d'un motif bien arrangé est 18.

Les motifs convexes[modifier | modifier le code]

Les 13 formes convexes réalisables avec le Tangram

Les motifs convexes sont tels qu'un segment tracé à partir de deux points quelconques de leurs pourtours passe toujours et complètement par leurs intérieurs, en d'autres termes ce sont des configurations dont la forme ne présente pas de creux.

Il n'y a que 13 polygones convexes réalisables avec le jeu Tangram[2],[3].

Autres Tangram[modifier | modifier le code]

D'autres tangrams sont remarquables car ce sont des solutions du problème de la trisection du carré :

  • Les tangrams de Pythagore, démonstration visuelle par réarrangement de pièces que tout couple de carrés de côtés a et b peut-être transformé en un autre d'aire c^2=a^2+b^2. Une version[4] initialement découverte par Abu'l-Wafa'[5],[6] et redécouverte par Henry Perigal (en)[7], une autre[8] par Liu Hui au IIIe siècle.
  • Le tangram de Henry Perigal[9], dissection d'un rectangle en un carré de même aire, probablement vers 1835[10] mais publié seulement en 1891[11] et par Philip Kelland (en) en 1855[12],[13] pour transformer un gnomon en un carré[14].

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Jerry Slocum, The Tao of Tangram, New York, Barnes & Noble,‎ 2001 (ISBN 978-1-4351-0156-2, OCLC 427559474), p. 37
  2. (en) Fu Traing Wang et Chuan-Chih Hsiung (en), « A Theorem on the Tangram », Amer. Math. Month., vol. 49, no 9,‎ novembre 1942, p. 596–599 (DOI 10.2307/2303340)
  3. (en) Ronald C. Read, Tangrams : 330 Puzzles, New York, Dover,‎ 1965 (ISBN 978-0-486-21483-2, OCLC 30273879), p. 53
  4. C. Mercat, Tangram de Pythagore, sur i2geo.net
  5. (en) Alpay Özdural, « Omar Khayyam, Mathematicians, and Conversazioni with Artisans », Journal of the Society of Architectural Historians, vol. 54, no 1,‎ 1995 (lire en ligne)
  6. (en) Alpay Özdural, « Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World », Historia Mathematica, vol. 27,‎ 2000, p. 171-201 (lire en ligne)
  7. (en) Henry Perigal, « On Geometric Dissections and Transformations », Messenger of Mathematics, vol. 19,‎ 1875 (lire en ligne)
  8. C. Mercat, Tangram de Liu Hui sur i2geo.net
  9. C. Mercat, Tangram de Périgal: de rectangle à carré, sur i2geo.net
  10. (en) L. J. Rogers, « On certain Regular Polygons in Modular Network : Voir appendice: 'Biography of Henry Perigal' », Proceedings London Mathematical Society, 1e série, vol. 29,‎ 1897, p. 732-735 (DOI 10.1112/plms/s1-29.1.706)
  11. (en) Henry Perigal, Graphic Demonstrations of Geometric Problems, London, Bell & Sons. Association for the Improvement of Geometrical Teaching (en),‎ 1891 (lire en ligne)
  12. (en) Philip Kelland, « On superposition », Transactions of the Royal Society of Edinburgh, vol. 21,‎ 1855, p. 271-3 and plate V
  13. (en) Greg N. Frederickson, Dissections: Plane & Fancy, New York, CUP,‎ 2003 (ISBN 978-0-521-52582-4, lire en ligne), p. 28-32
  14. (en) Kelland's Gnomon-to-Square Dissection, Wolfram Demonstrations Project

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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