Suite de Riesz

En mathématiques, une suite de vecteurs (x_n) dans un espace de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ est appelée suite de Riesz s'il existe des constantes $0<c\leq C<+\infty$ telles que

$c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

pour toute suite de scalaires (a_n) dans l'espace ℓ².

Une suite de Riesz est appelée base de Riesz si

${\overline {\mathop {\rm {vect}} (x_{n})}}=H$ .

Théorèmes

Si H est un espace de dimension finie, alors toute base de H est une base de Riesz.

Soit φ dans l'espace L²(R), soit

$\phi _{n}(x)=\phi (x-n)$

et soit ${\hat {\varphi }}$ la transformée de Fourier de φ. On définit des constantes c et C telles que $0<c\leq C<+\infty$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

$1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

$2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$

La première des conditions ci-dessus est la définition pour que (φ_n) forme une base de Riesz pour le sous-espace qu'elle engendre.

Voir aussi

• Base de Hilbert
• Espace de Hilbert

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz sequence » (voir la liste des auteurs).

• Ole Christensen, « Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions », Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 38, n^o 3,‎ 2001, p. 273–291 (lire en ligne)

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