Série de Riemann

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Pour $\alpha$ un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : $S=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^\alpha}$.

La série harmonique en est un cas particulier, pour $\alpha = 1$ : $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\ldots$

Proposition

• Une série de Riemann converge absolument si et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$.

• Une série de Riemann converge si et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$ (même condition que précédemment).

Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.

Valeurs particulières

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout $\alpha$ entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour $p$ entier naturel non nul :

$\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2\,p}}=r_p\,\pi^{2\,p}$, où $r_p$ est un nombre rationnel.

Ainsi par exemple $\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{4}} = \frac{\pi^4}{90}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{6}} = \frac{\pi^6}{945},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}, \quad ...$

En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon $\alpha$ hormis que pour $\alpha = 3$, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1979).

Fonction zêta de Riemann

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann $\zeta$ est définie pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle $\Re e \ (s) > 1$ par la série convergente :

$\zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s}$

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur l'ensemble des nombres $s$ de partie réelle $\Re e \ (s) > 1$.

Généralisations

• Les séries de Bertrand, de la forme

$\sum{1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}$.

• Les séries de Dirichlet, de la forme

$\sum{a_n \over n^\alpha}$.

• Les séries de Riemann multiples, de la forme

$\sum_{n_1,\cdots ,n_k >0}\frac{1}{(n_1^2+n_2^2\cdots +n_k^2)^{\alpha/2}}$

Il y a convergence si et seulement si $\Re(\alpha) >k$

Voir aussi

• Somme de Riemann
• Fonction zêta de Riemann
• Hypothèse de Riemann
• Histoire de la fonction zêta de Riemann
• Série de Dirichlet