Série de Riemann

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Somme de Riemann.

Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : S=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^\alpha}.

La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 : \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\ldots

Convergence[modifier | modifier le code]

  • Une série de Riemann converge absolument si et seulement si Re(α) > 1.
  • Une série de Riemann converge si et seulement si Re(α) > 1 (même condition que précédemment).

Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par comparaison série-intégrale.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2\,p}}=r_p\,\pi^{2\,p}, où r_p est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{4}} = \frac{\pi^4}{90}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{6}} = \frac{\pi^6}{945},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}.

En revanche on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

 \zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s}.

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]