Série de Bertrand

Pour $\alpha$ et $\beta$ deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}.$

Condition de convergence

Énoncé

Théorème de Bertrand —  Une série de Bertrand converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Cette condition nécessaire et suffisante est parfois résumée en : « le couple $(\alpha,\beta)$ est lexicographiquement postérieur à $(1,1)$ ». Cela se réfère à l'ordre lexicographique, adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.

Démonstration par le critère intégral de Cauchy

La série de Bertrand a même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction

$x\mapsto\frac1{x^\alpha(\ln x)^\beta}$

(définie et positive sur ]1,+∞[), sous réserve que cette fonction soit décroissante au-delà d'une certaine valeur.

Lorsque cette hypothèse de décroissance n'est pas réalisée, c'est-à-dire lorsque α<0 ou (α=0 et β<0), il se trouve qu'on a au contraire croissance à partir d'un certain rang donc la série est trivialement divergente.

Lorsqu'elle l'est, c'est-à-dire lorsque (α=0 et β≥0) ou α>0, la convergence de la série équivaut à l'intégrabilité en +∞ de la fonction ci-dessus, ou encore, par changement de variable $y=\ln x$, de la fonction

$y\mapsto e^{(1-\alpha)y}y^{-\beta}.$

• Si 1-α<0, cette fonction de $y$ est intégrable en +∞ car elle est un O de $e^{-\gamma y}$ pour n'importe quel γ∊]0,α-1[.
• Si α=1, elle est intégrable en +∞ si et seulement si β>1.
• Si 1-α>0, elle n'est pas intégrable en +∞ car pour n'importe quel γ∊]0,1-α[, la fonction y↦e^γy (non intégrable en +∞) est un O de celle-là.

Démonstration plus élémentaire

• Premier cas : α > 1

On pose

$h = \frac{\alpha-1}{2}>0$

de sorte que

$\alpha=1+2h$

On a alors

$n^{1+h} {1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}={1 \over n^h\,(\ln n)^\beta}$

qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, et ce quel que soit β. D'où

${1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}=o\left(\frac{1}{n^{1+h}}\right)$

ce qui prouve la convergence de la série étudiée.

• Deuxième cas : α < 1

On pose

$h = \frac{1-\alpha}{2}>0$

de sorte que

$\alpha=1-2h$

On a alors

$n^{1-h} {1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}={n^h \over (\ln n)^\beta}$

qui tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini, et ce quel que soit β. D'où

$\frac{1}{n^{1-h}}=o\left({1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}\right)$

ce qui prouve la divergence de la série étudiée.

• Troisième cas : α = 1

On doit ici étudier la série de terme général

${1 \over n\,(\ln n)^\beta}$

Si β ≤ 0, on a

${1 \over n\,(\ln n)^\beta} \ge {1 \over n}$

et donc la série diverge.

Si β > 0, comme $f:x\mapsto \frac {1}{x(\ln x)^\beta}$ est décroissante, la série étudiée converge si et seulement si

$\int_{2}^{a} f(x)\, \mathrm dx\,\!$

admet une limite lorsque a tend vers l'infini. Or, si β ≠ 1, f admet pour primitive

$F:x\mapsto \frac {(\ln x)^{1-\beta}}{1-\beta}$

qui converge si et seulement si β > 1.

Enfin, si β = 1, f admet pour primitive

$F:x\mapsto \ln(\ln x)$

qui diverge lorsque x tend vers l'infini, ce qui termine la démonstration.

Exemples

La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour $\alpha = 1$ et $\beta = 0$ :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...$

On sait que la série harmonique diverge, et que la série $\sum_{n\ge 1}{1 \over n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ (série de Riemann). Bien sûr, si $\alpha > 1$, ${1 \over n^\alpha}=o\left(\frac{1}{n}\right)$, cependant il existe des séries dont le terme général est négligeable devant $\frac{1}{n}$ mais qui divergent.

La série de Bertrand permet alors d'exhiber un contre-exemple à l'implication erronée suivante : $(u_n)_{n\in\N}=o\left(\frac{1}{n}\right)\Rightarrow \sum_{n\in\N} u_n$ converge. La « (1,1)-série de Bertrand », ie la série :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n\,\ln n}$

est divergente, d'après la proposition, alors que ${1 \over n\,\ln n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$.