Exemple (mathématiques)

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Article principal : Exemple.

Un exemple, en mathématiques, est un cas particulier visant à illustrer une définition, un théorème ou un raisonnement.

Ainsi, on pourra trouver dans un manuel de mathématiques des énoncés de la forme :

« Définition : Les fonctions f définies sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b sont appelées fonctions affines.
Par exemple : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=4x-5 est une fonction affine. »

Exemple et démonstration[modifier | modifier le code]

Quand une proposition énonce une propriété universelle[1], un exemple qui illustre cette proposition n'a généralement pas valeur de démonstration.

Ainsi, on ne peut pas prouver que la conjecture de Syracuse est vraie simplement en la testant sur des exemples, même si en 2013 on a vérifié tous les premiers cas jusqu'à plus de cinq milliards de milliards. Pour conclure que celle-ci est vraie, il faudrait exhiber un raisonnement général. Pour conclure qu'elle est fausse, un seul exemple, appelé souvent contre-exemple dans ce contexte, suffirait. Le fait que l'on ait beaucoup d'exemples, mais pas de contre-exemple, peut néanmoins conforter l'opinion selon laquelle cet énoncé devrait être vrai.

En résumé un exemple suffit

  • pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse — on parle alors plutôt de contre-exemple — commeConjecture (Fermat) : quel que soit l'entier naturel n, 2(2n) + 1 est un nombre premier.
    Contre-exemple (Euler) : cette proposition universelle est fausse, car 2(25) + 1 = 232 + 1 = 4 294 967 297 n'est pas premier, puisque c'est un multiple de 641.
  • pour montrer une affirmation d'existence commeProposition : il existe des entiers naturels non nuls a, b et c tels que a2 + b2 = c2.
    Démonstration : c'est vrai car, par exemple, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Il arrive également qu'une propriété universelle se ramène à un nombre fini et même faible de cas, soit parce qu'elle ne porte naturellement que sur ceux-ci, soit parce qu'une partie de la démonstration consiste en une réduction à ce nombre fini de cas.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est-à-dire une proposition qui affirme qu'une propriété est vraie pour tous les objets considérés, tous les entiers naturels par exemple.