Exemple (mathématiques)

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Article principal : Exemple.

Un exemple, en mathématiques, est un cas particulier visant à illustrer une définition, un théorème ou un raisonnement.

Ainsi, on pourra trouver dans un manuel de mathématiques des énoncés de la forme :

« Définition : Les fonctions f définies sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b sont appelées fonctions affines.
Par exemple : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=4x-5 est une fonction affine. »

Exemple et démonstration[modifier | modifier le code]

Quand une proposition énonce une propriété universelle[1], un exemple qui illustre cette proposition n'a généralement pas valeur de démonstration.

Ainsi, on ne peut pas prouver que la conjecture de Syracuse est vraie simplement en la testant sur des exemples, même si en 2013 on a vérifié tous les premiers cas jusqu'à plus de cinq milliards de milliards. Pour conclure que celle-ci est vraie, il faudrait exhiber un raisonnement général. Pour conclure qu'elle est fausse, un seul exemple, appelé souvent contre-exemple dans ce contexte, suffirait. Le fait que l'on ait beaucoup d'exemples, mais pas de contre-exemple, peut néanmoins conforter l'opinion selon laquelle cet énoncé devrait être vrai.

On peut dans certains cas démontrer à l'aide d'exemples :

  • pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse ;
  • dans le cas d'une affirmation d'existence ;
  • quand une propriété universelle se ramène à un nombre fini et faible de cas.

Dans le premier cas, on parle plutôt de contre-exemple ; dans les deux derniers cas, on parle de preuve par l'exemple[réf. nécessaire].

Les exemples suivants illustrent ces différents cas de figure :

Cas d'infirmation par l'exemple d'une conjecture
Article détaillé : Contre-exemple.
Conjecture (Fermat) : quel que soit l'entier naturel n, 2^{2^n} + 1 est un nombre premier.
Contre-exemple (Euler) : cette proposition universelle est fausse, car 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297, qui n'est pas premier, puisque c'est un multiple de 641.
Cas de validation par l'exemple d'une affirmation d'existence
Article détaillé : Preuve par l'exemple.
Proposition : il existe des entiers naturels non nuls a, b et c tels que a^2 + b^2 = c^2.
Démonstration : c'est vrai, car par exemple 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Cas de preuve par l'exemple d'une propriété universelle
Article détaillé : Preuve par l'exemple.
À démontrer : pour tout entier n, (n+1)^2 est égal à n^2+2n+1
Preuve par 3 exemples : si l'on regarde la différence (n+1)^2-(n^2+2n+1), il suffit de prouver que cette différence est toujours nulle. Sans faire les calculs, cette expression peut être assimilée à une forme polynomiale en n de degré 2 maximum[réf. nécessaire]. Si elle est de degré 2 ou de degré 1, elle n'a que 2 ou 1 zéros. Or pour n=0, n=1, n=2 (3 exemples pris au hasard, l'important c'est d'avoir un exemple de plus que le degré maximum supposé), (n+1)^2-(n^2+2n+1) vaut zéro, cette forme polynomiale ne peut donc être de degré 2 ou 1, elle est donc de degré 0, et sa valeur est constante, elle vaut donc 0, donc (n+1)^2-(n^2+2n+1) est identiquement nul. CQFD.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. c'est-à-dire une proposition qui affirme qu'une propriété est vraie pour tous les objets considérés, tous les entiers naturels par exemple

Voir aussi[modifier | modifier le code]