Convergence inconditionnelle

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Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (xn)n∈ℕ une suite d'éléments de X. On dit que la série xn converge inconditionnellement, ou qu'elle est commutativement convergente[1] si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série \sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)} converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout xX, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Famille sommable.

Théorème[1] — Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si la suite (xn)n∈ℕ est une famille sommable, et toutes les sommes \sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)} sont alors égales à n∈ℕ xn.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes[3] :

Lemme 1 — Si toutes les séries \sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)} vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

\forall V\text{ voisinage de }0\quad\exists J_V\text{ fini }\subset\N\quad\forall K\text{ fini }\subset\N\quad\left(K\cap J_V=\varnothing\Rightarrow\sum_{k\in K}x_k\in V\right).

Lemme 2 — Si (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries \sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)} converge, alors (xn)n∈ℕ est une famille sommable.

Autres caractérisations[modifier | modifier le code]

Théorème — Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (εn)n∈ℕ avec εn = ±1, la série \sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n x_n converge, ou encore si toute sous-série \Sigma_{m=0}^\infty x_{n_m} (n0 < n1 < n2 < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Bourbaki, TG, III.44.
  2. Cf. Théorème de Dvoretzky-Rogers.
  3. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
  4. (en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer, Springer,‎ 2010 (ISBN 978-0-81764686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)