Théorème de Stolz-Cesàro

En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro est un critère permettant de montrer la convergence d'une suite.

Soit $(a_n)_{n \geq 1}$ et $(b_n)_{n \geq 1}$ deux suites de nombres réels, avec $b_n$ strictement croissante et non majorée. Si la limite suivante existe,

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell\in\R,$

alors la limite $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ existe aussi et est égale à $\ell$.

Démonstration

On a

$\forall \varepsilon >0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N \Longrightarrow \ell-\varepsilon < \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} < \ell + \varepsilon.$

Et par croissance

$\forall n \in \N,\ b_{n+1} -b_n \geq 0.$

Finalement, pour $n \geq N$,

$(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_n) < a_{n+1}-a_n < (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_n).$

Puis en sommant pour $i \in \{N,\ldots,n\}$,

$(\ell-\varepsilon)\sum_{i=N}^n(b_{i+1}-b_i) < \sum_{i=N}^n(a_{i+1}-a_i) < (\ell+\varepsilon)\sum_{i=N}^n(b_{i+1}-b_i).$

Et par télescopage

$(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_N) < a_{n+1} - a_N< (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_N).$

On en déduit que (puisque $b_{n+1} >0$ à partir d'un certain rang)

$(\ell-\varepsilon)\left(1 - \frac{b_N}{b_{n+1}}\right) + \frac{a_N}{b_{n+1}}< \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<(\ell+\varepsilon)\left(1 - \frac{b_N}{b_{n+1}}\right) + \frac{a_N}{b_{n+1}}.$

Comme $(b_n)$ diverge vers $+ \infty$, lorsque $n \rightarrow + \infty$ on obtient bien le théorème.

Le théorème de Stolz-Cesàro peut être vu comme une généralisation de la moyenne de Cesàro (mais aussi comme une règle analogue à la règle de l'Hôpital).

Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Stolz–Cesàro theorem » (voir la liste des auteurs)