Test de condensation de Cauchy

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En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, dû à Augustin Louis Cauchy[1], est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante (an), on a

S:=\sum_{n\ge1}a_n<+\infty\text{ si et seulement si }T:=\sum_{k\ge0}2^ka_{2^k}<+\infty

et plus précisément

S\le T\le 2S.

Démonstration[modifier | modifier le code]

En groupant les termes par « paquets de taille 2k » (comme dans la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique), on a d'une part

S=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+\ldots\le a_1+2a_2+4a_4+\ldots=T

et d'autre part

2S=a_1+(a_1+a_2)+(a_2+a_3+a_3+a_4)+\ldots\ge a_1+2a_2+4a_4+\ldots=T.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Pour tout réel positif α,

  • la série de Riemann\sum_{n\ge1}\frac1{n^\alpha}a même comportement que sa « série condensée »\sum_{k\ge0}2^k\frac1{(2^k)^\alpha}=\sum_{k\ge0}(2^{1-\alpha})^k.Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si α > 1 ;
  • la série de Bertrand\sum_{n\ge 2}{1 \over n\,(\ln n)^\alpha}converge si et seulement si sa « condensée »\sum_{k\ge1}{2^k\over 2^k\,(\ln(2^k))^\alpha}=\sum_{k\ge1}{1\over(k\ln2)^\alpha}converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si α > 1 ;
  • il en est de même pour la série\sum_{n\ge 3}{1 \over n\,\ln n\,(\ln\ln n)^\alpha},etc[2].

Généralisation[modifier | modifier le code]

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1[2]. Plus généralement, Jan Cornelis Kluyver (de)[3] a montré en 1909[4] que pour toute suite réelle positive décroissante (an), les séries

\sum a_n,\quad\sum(n_{k+1}-n_k)a_{n_k},\quad\sum(n_k-n_{k-1})a_{n_k}\quad{\rm et}\quad\sum N_ka_{n_k}

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs (nk) et (Nk) telles que (nk) soit strictement croissante et ((nk+1nk)/Nk) et (Nk+1/Nk) soient bornées. (Schlömilch avait établi[Quand ?] le cas particulier Nk = nk+1nk.)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse (en), 1821 — Œuvres complètes, 2e série, t. 3, 1897, chap. VI, § 2 [lire en ligne].
  2. a et b Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars,‎ 1902 (lire en ligne), p. 3-6.
  3. (en) « Jan Cornelis Kluyver », sur proofwiki.org.
  4. Thorild Dahlgren (sv), Sur le théorème de condensation de Cauchy, Lund,‎ 1918 (lire en ligne), chap. III, p. 48-49.