Règle de Cauchy

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En mathématiques et en topologie, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels, ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace de Banach.

Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy », ce dernier stipulant que, dans un espace métrique, toute suite convergente est une suite de Cauchy.

Énoncé

La règle de Cauchy généralise simplement la règle de D'Alembert en décrivant que pour une série de terme général $(x_n)$ dans un espace de Banach (c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet), si la limite suivante existe

$p=\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|},$

alors la série satisfait les propriétés suivantes :

• si $p<1$, la série est absolument convergente.
• si $p>1$, la série est grossièrement divergente.
• si $p=1$ ou si la limite n’existe pas, il y a indécidabilité à défaut d’informations supplémentaires.

Autres résultats

Généralisation

Le même énoncé reste vrai si, dans la définition de p, la limite est remplacée par la limite supérieure.

Cas particuliers

La règle s’applique pour des séries dans ℝ (où la norme est la valeur absolue) ou dans ℂ (où la norme est le module), car ces deux espaces sont de Banach. Il en va de même dans ℝⁿ ou dans ℂⁿ munis de n’importe quelle norme.

Indécidabilité

Avec p = 1

La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers $\ln (2)$ sont deux exemples pour lesquels p = 1.

On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :

• La série de Dirichlet de terme général $x_n = n^{-2}$ est absolument convergente vers $\zeta(2)$ (fonction zêta de Riemann) alors qu’elle satisfait p = 1.
• La série de terme général $x_n = (-1)^n$ diverge grossièrement alors qu’elle satisfait p = 1.

Dans les exemples précédents, p est aussi égal à 1 s’il est défini par la limite supérieure.

Avec p indéfini

Si p est défini par la limite :

En partant d’une série convergente pour laquelle p < 1 (ou divergente pour laquelle p > 1), il suffit d’insérer des valeurs nulles (par exemple à intervalles réguliers) pour que la limite p n’existe plus, sans modifier pour autant la convergence de la série. Ce procédé induit des exemples pour p indéfini.

Si p est défini par la limite supérieure :

p existe toujours si la suite $(x_n)$ est bornée. Dans le cas contraire, la série ne saurait converger.

Preuve

Démontrons la règle générale, pour p défini par la limite supérieure.

• Si $p < 1$, il existe un entier $m$ et un réel $r<1$ tels que $\scriptstyle\|x_n\|^{1/n} < r$ dès que $n > m$. Ainsi, la suite $(x_n)$ est majorée par la suite géométrique de raison $r$ et la série est absolument convergente.
• Si $p >1$, il existe une infinité de valeurs $n$ telles que $\scriptstyle\|x_n\|^{1/n}\ge1$, donc telles que $\scriptstyle\|x_n\|\ge1$. Par conséquent, la suite $(x_n)$ ne converge pas vers 0, ce qui implique que la série ne saurait être convergente.

Voir aussi

Règle de Raabe-Duhamel