Règle de Cauchy

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En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé.

Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy », ce dernier stipulant que, dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.

Énoncé[modifier | modifier le code]

La règle de Cauchy donne un critère de convergence pour une série de terme général xn dans un espace vectoriel normé, en fonction de la limite supérieure

p=\limsup_{n \to +\infty}\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|}.

La série est :

  • absolument convergente si p < 1, donc convergente si l'espace est de Banach c'est-à-dire complet,
  • grossièrement divergente si p > 1, c'est-à-dire que la suite (xn) ne tend même pas vers 0.

Si p = 1, il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires.

La règle s'applique en particulier pour des séries dans ℝ (où la norme est la valeur absolue) ou dans ℂ (où la norme est le module) ou même dans ℝn ou ℂn, complets pour n'importe quelle norme.

Preuve[modifier | modifier le code]

  • Si p < 1, il existe un entier m et un réel r < 1 tels que xn1/n < r dès que n > m. Ainsi, la suite (║xn║) est majorée par la suite géométrique de raison r et la série est absolument convergente.
  • Si p > 1, il existe une infinité de valeurs n telles que xn1/n ≥ 1, donc telles que xn║ ≥ 1. Par conséquent, la suite (xn) ne tend pas vers 0.

Cas p = 1[modifier | modifier le code]

La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers ln(2) sont deux exemples pour lesquels la limite des xn1/n — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car (1/n)ln(1/n) tend vers 0.

On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :

  • La série de Dirichlet de terme général xn = n−2 est absolument convergente vers ζ(2) alors que pour elle, la limite vaut 1.
  • La série de terme général xn = (–1)n diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1.

Lien avec la règle de d'Alembert[modifier | modifier le code]

Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général x_n:

  • converge absolument dès que \limsup \frac{ ||x_{n+1}|| }{ ||x_n|| } < 1;
  • diverge grossièrement dès que \liminf \frac{ ||x_{n+1}|| }{ ||x_n|| } > 1.

La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue:

  • Stricto sensu, le critère ne s'applique qu'à une série sans terme nul. On peut toujours sans problème se ramener à ce cas, mais il n'est pas nécessaire de prendre cette précaution avec Cauchy.
  • Le cas inconclusif de d'Alembert est légèrement plus vaste que celui de Cauchy: chaque fois que d'Alembert conclut quelque chose, Cauchy arrive à la même conclusion, puisqu'il est vrai en général que \liminf \frac{ ||x_{n+1}|| }{ ||x_n|| } \leq \limsup \sqrt[n]{||x_n||} \leq \limsup \frac{ ||x_{n+1}|| }{ ||x_n|| }. Par contre, il existe des exemples pour lesquels Cauchy conclut, mais pas d'Alembert[1].

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]