Série alternée

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à coefficients réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables.

Une série à coefficients réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme :

\pm\sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^ia_i

avec ai des nombres réels positifs.

Le principal critère de convergence concernant les séries alternées permet de montrer que certaines séries alternées non absolument convergentes sont convergentes, notamment la série harmonique alternée ; c'est-à-dire qu'il réussit là où échoue un critère plus général valable pour toutes les séries numériques. De tels exemples appartiennent à la famille plus générale des séries semi-convergentes. Dans ce cas, un théorème de Riemann assure que l'on peut toujours réordonner les termes de la série pour la faire converger vers n'importe quel réel, et même diverger.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un exemple classique de série alternée est la série :
    \ln(2)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}.
    On peut noter que cette série ne converge pas absolument car la série harmonique ne converge pas.
  • Un exemple du même type est la formule de Leibniz
    \frac{\pi}4=
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}.