Règle de Raabe-Duhamel

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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est une technique permettant d'établir la convergence d'une série. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Règle de Raabe-Duhamel — Soit (u_n)_{n \in \N} une suite de nombres réels à termes strictement positifs telle que

\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right);

avec \alpha \in \R, alors

  • si \alpha<1, la série de terme général (u_n)_{n \in \N} diverge,
  • si \alpha>1, la série de terme général (u_n)_{n \in \N} converge,
  • si \alpha=1, on ne peut conclure.

Ce théorème est un complément à la règle de d'Alembert pour séries à termes réels positifs et permet donc de la préciser. C'est le cas, par exemple, pour la série de terme général u_{n}=\frac{2 \times 4 \times \dotsb \times (2n)}{3 \times 5 \times \dotsb \times (2n+1)}, qui tombe dans le cas douteux de la règle de d'Alembert, mais dont on obtient la divergence par la règle de Raabe-Duhamel avec \alpha=1/2.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, pp. 214-221, vol. 4, 1839