Problème des souris

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En mathématiques le problème des souris (ou des trois ou quatre chiens) est un problème de poursuite et d'interception dans lequel on recherche le point de rencontre de souris, placées initialement aux coins d'un polygone régulier, qui se suivent.

On suppose quatre souris au sommet d'un carré unitaire ABCD. La souris A poursuit la souris B qui poursuit la souris C qui poursuit la souris D qui poursuit la souris A. Les quatre souris se déplacent à la même vitesse constante unitaire . Au fur et à mesure des déplacements les souris parcourent des segments de droites et modifient leur trajectoire pour rester en direction de leur cible. Les souris se rencontrent après un temps d'une unité car la distance entre deux souris voisines décroit toujours à la vitesse d'une unité.

Plus généralement, pour un polygone régulier de n côtés, la distance entre deux souris voisine diminue à la vitesse de 1-cos(2\pi/n), elles se rencontrent donc à un temps de 1/(1-cos(2\pi/n))[1], [2].

Pour tous les polygones réguliers les souris tracent une spirale logarithmique dont le centre est celui du polygone[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) George Gamow et Marvin Stern, Puzzle math, New York, Viking press,‎ 1958, p. 112–114
  2. Édouard Lucas, Problème des trois chiens, Nouv. Corresp. Math. 3,‎ 1877, p. 175–176
  3. « Mice Problem », MathWorld (consulté le 16 avril 2013)

Voir aussi[modifier | modifier le code]