Loi de Cauchy (optique)

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Illustration de la loi de Cauchy sur l'exemple d'un verre borosilicate. Les points indiquent les valeurs expérimentales, la ligne bleue indique la loi de Cauchy qui permet de reproduire convenablement les données expérimentales dans le visible. L'équation de Sellmeier, en pointillés verts, fournit une bonne description jusque dans l'infrarouge.

En optique, on appelle loi de Cauchy une relation empirique, qui fut plus tard vérifiée et démontrée grâce aux équations de Maxwell, donnant la variation d'indice de réfraction n avec la longueur d'onde λ pour un milieu transparent donné. Cette loi est une approximation valable pour les milieux transparents dans le visible et dont les bandes d'absorption sont toutes dans l'ultraviolet[1]. Elle s'écrit comme un développement limité de l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde :

n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + ...[2].

où A, B et C sont des coefficients positifs, respectivement sans dimension, en m², et en m4, caractéristiques de chaque milieu.

Publiée en 1836 cette formule était déduite d'observations et de mesures, mais elle peut être redémontrée à partir du développement limité de :

\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}=\frac{4 \pi}{3}N \alpha,

où N représente le nombre d'Avogadro et α la polarisabilité du milieu. Si l'on admet que le milieu possède plusieurs fréquences de résonance optiques, on a :

\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}=\frac{4 \pi N e^2}{3 m} \sum_k \frac{f_k}{\omega_k^2 - \omega^2}

C'est à partir de cette formule que l'on déduit la formule de Cauchy[3].

Encore très utilisée, de pair avec l'équation de Sellmeier dont elle est une simplification, la loi de Cauchy modélise d'une manière très précise l'indice de réfraction des matériaux dans le domaine du spectre visible[4].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Augustin Louis Cauchy, « Sur la dispersion de la lumière », Bulletin des sciences mathématiques, vol. 14, no 9,‎ 1836

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Germain Chartier, Manuel d'optique, Paris, Hermès,‎ 1997 (ISBN 2-86601-634-3), p. 437
  2. Bernard Balland, Optique géométrique : Imagerie et instruments, p. 58
  3. (en) Max Born et Emil Wolf, Principles of optics, Pergamon Press, p. 94-96
  4. (en) David A. Atchison et George Smith, « Chromatic dispersions of the ocular media of human eye », Journal of the Optical Society of America, vol. 22, no 1,‎ 2005, p. 29-37 (DOI 10.1364/JOSAA.22.000029)