Intégrale de Stieltjes

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Thomas Stieltjes (1856–1894)

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées $f$ et $g$ définies sur un intervalle fermé $[a,b]$, ainsi qu'une subdivision $a=x_0 <x_1 <x_2<...< x_{n-1}<x_n=b$ de cet intervalle. Si la somme de Riemann

$\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )\bigl(g(x_{i+1})-g(x_i)\bigr)$,

avec ξ_i ∈ [x_i, x_i+1], tend vers un nombre fixe $S$ lorsque max(x_i+1 – x_i) tend vers 0, alors $S$ est appelé l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction $f$ par rapport à $g$, et on la dénote par

$\int_a^bf(x)\,\mathrm dg(x)\,\!$

ou, simplement, par

$\int_a^b f\,\mathrm dg\,\!$.

Si les fonctions $f$ et $g$ possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si $f$ est continue et $g' = \mathrm dg/\mathrm dx$ possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors

$\int_a^bf(x)\,\mathrm dg\,\!(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm dx\,\!$.

Plus généralement, si $f$ est continue et $g$ à variations bornées, cette intégrale est bien définie.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Riemann
• Intégrale de Lebesgue
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale d'Itô
• Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

• (en) H. Jeffreys et B.S. Jeffreys, Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3^e éd., Cambridge, CUP, 1988 (ISBN 0-521-66402-0), p. 26–36
• (en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11, p. 247–269