Coniques de Mandart

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En géométrie, les coniques de Mandart sont des coniques du triangle, nommées d'après H. Mandart, qui les a étudiées dans deux articles publiés à la fin du XIX^e siècle^[1]^,^[2]^,^[3].

Ellipse de Mandart[modifier | modifier le code]

L'ellipse inscrite de Mandart d'un triangle est l'ellipse située à l'intérieur du triangle, tangente aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés. C'est donc également l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle de Nagel du triangle de référence^[4].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le centre de l'ellipse de Mandart est le mittenpunkt du triangle. Son point de Brianchon (le point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux points de tangence) est donc le point de Nagel du triangle^[1].

Ses axes sont les droites parallèles aux asymptotes de l'hyperbole de Feuerbach passant par le mittenpunkt.

Comme conique inscrite, l'ellipse de Mandart est décrite par les paramètres en coordonnées homogènes

x:y:z={\frac {a}{b+c-a}}:{\frac {b}{a+c-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}

pour un un triangle de côtés a, b, c.

Cercle de Mandart[modifier | modifier le code]

Le cercle de Mandart est le cercle circonscrit au triangle de Nagel. Le cercle et l'ellipse de Mandart se croisent donc aux trois sommets de ce triangle, mais aussi au point de Feuerbach du triangle.

C'est donc le cercle de Joachimsthal du point de Bevan.

Son centre est le point de nombre de Kimberling X₁₁₅₈ et son rayon est égal à :

R_{\text{Mandart}}={\frac {s}{abc}}{\sqrt {(4R^{2}-bc)(4R^{2}-ca)(4R^{2}-ab)}}.

où $R$ est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence et $s$ son demi-périmètre.

Triangles de Mandart[modifier | modifier le code]

On considère un triangle ABC et son triangle médian A'B'C'. Pour un réel t, on place sur la médiatrice de [AB] le point P_A tel que $C'P A = t$ et tel que si t > 0, le point est à l'extérieur du triangle ; on définit de façon similaire les points P_B et P_C. Alors le triangle P_AP_BP_C est appelé triangle de t-Mandart.

Propriétés[modifier | modifier le code]

le locus des centres de gravité des triangles de t-Mandart est la droite passant par le centre du cercle circonscrit du triangle de référence et le centre de son cercle inscrit.
le locus des centres des cercles circonscrits des triangles de t-Mandart est une hyperbole équilatère

Hyperbole de Mandart[modifier | modifier le code]

Pour tout t, le triangle de t-Mandart est orthologique au triangle de Nagel^[3]. Le locus des points de concurrence est une hyperbole équilatère, circonscrite au triangle de Nagel. Gibert est le premier à la nommer hyperbole de Mandart.

Ses asymptotes sont parallèles à celles de l'hyperbole de Feuerbach.

Parabole de Mandart[modifier | modifier le code]

Pour tout t, le triangle de t-Mandart et le triangle médian sont en homologie. On appelle parabole de Mandart l'enveloppe des axes de ces homologies quand t varie.

Le foyer de cette parabole est le centre de nombre de Kimberling X₁₃₄ et son axe est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le centre de Spieker du triangle de référence.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mandart inellipse » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Bernard Gibert, « Generalized Mandart conics », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 177–198 (lire en ligne).
↑ H. Mandart, « Sur l’hyperbole de Feuerbach », Mathesis,‎ 1893, p. 81–89.
↑ ^{a et b} H. Mandart, « Sur une ellipse associée au triangle », Mathesis,‎ 1894, p. 241–245 (lire en ligne).
↑ (en) Imre Juhász, « Control point based representation of inellipses of triangles », Annales Mathematicae et Informaticae, vol. 40,‎ 2012, p. 37–46 (MR 3005114, lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Mandart Inellipse », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Mandart Circle », sur MathWorld

[g04-1] {a et b} (en) Bernard Gibert, « Generalized Mandart conics », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 177–198 (lire en ligne).

[Mandart1-2] H. Mandart, « Sur l’hyperbole de Feuerbach », Mathesis,‎ 1893, p. 81–89.

[Mandart2-3] {a et b} H. Mandart, « Sur une ellipse associée au triangle », Mathesis,‎ 1894, p. 241–245 (lire en ligne).

[4] (en) Imre Juhász, « Control point based representation of inellipses of triangles », Annales Mathematicae et Informaticae, vol. 40,‎ 2012, p. 37–46 (MR 3005114, lire en ligne).

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron