Complémentaire (triangle)

En géométrie du triangle, on appelle point complémentaire d'un point par rapport à un triangle ABC, l'image du point par homothétie de centre, le centre de gravité de ABC et de rapport -1/2. Par extension, toute figure image par une telle homothétie sera appelée complémentaire.

Historique[modifier | modifier le code]

Construction du point complémentaire par la méthode d'Ocagne : pour un point P, on construit les symétriques par rapport aux milieux des trois côtés du triangle P_A, P_B, P_C, puis on trace P' à l'intersection des droites (AP_A), (BP_B) et (CP_C).

Dans le développement de la géométrie moderne du triangle, Nagel remarque l'existence de plusieurs triplets de centres du triangle alignés avec le centre de gravité et dans un rapport de distance de 2:1^[1]^,^[2], travaux repris et étendus par Reuschle (en)^[3].

En 1882, Maurice d'Ocagne découvre une construction des couples de points en considérant un point et son symétrique par rapport aux sommets du triangle médian du triangle de référence. En 1884, Émile Hain, revisitant la relation de conjugaison en prenant pour exemple un sommet d'un triangle et le milieu du côté opposé, observe que celui-ci est le sommet correspondant du triangle médian. En conséquence, il préfère envisager cette relation de conjugaison sous l'aspect de la complémentarité. Ainsi, ce centre devient le point complémentaire du sommet correspondant et par extension, P', le complémentaire de P. En 1886, Gaston Albert Gohierre de Longchamps considère la relation réciproque, qu'on appelle donc anticomplémentaire. L'année suivante, Émile Vigarié, un géomètre aveyronnais, est apparemment le premier à formuler cette complémentarité dans le langage vectoriel^[4]. Plus tard, Adolphe Mineur, un professeur de l'université de Bruxelles, écrit en 1924 un livre sur les cubiques du triangle, où il expose une extension du concept de complémentarité algébriquement en recourant aux coordonnées barycentriques et trilinéaires^[5].

Exemples[modifier | modifier le code]

Points

Centre du triangle	Point complémentaire
Centre du cercle inscrit	Centre de Spieker
Centre de gravité	Centre de gravité
Centre du cercle circonscrit	Centre du cercle d'Euler
Orthocentre	Centre du cercle circonscrit
Point de Gergonne	Mittenpunkt
Point de Nagel	Centre du cercle inscrit
Point de Longchamps	Orthocentre
Coordonnées trilinéaires $α : β : γ$	Coordonnées trilinéaires $bβ + cγ / a : aα + cγ / b : aα + bβ / c$

Droites

la droite complémentaire de la droite de Longchamps est l'axe orthique
toute droite passant par le centre de gravité est sa propre complémentaire, comme la droite d'Euler ou la droite de Nagel, mais aussi la droite à l'infini

Cercles

le complémentaire du cercle circonscrit est le cercle d'Euler
le complémentaire du cercle polaire est le cercle de de Longchamps

Autres

Le triangle complémentaire du triangle de base est son triangle médian
Le complémentaire de l'ellipse circonscrite de Steiner est son ellipse inscrite de Steiner

Anticomplémentaire[modifier | modifier le code]

À l'inverse, on peut définir comme anticomplémentaire par rapport à un triangle ABC, l'image par homothétie de centre le centre de gravité de ABC et de rapport -2.

Pour un triangle donné, on appelle cercle anticomplémentaire l'anticomplémentaire du cercle circonscrit au triangle, et triangle anticomplémentaire l'anticomplémentaire du triangle de base. Par construction, le triangle anticomplémentaire est donc formé par les parallèles aux côtés du triangle et passant par le troisième sommet, et le cercle anticomplémentaire est le cercle circonscrit à ce triangle.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Jean-Louis Aymé, « Complémentarité » [archive] [PDF]
↑ (de) Christian Heinrich von Nagel, Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörigen Kreise : eine Abhandlung aus dem Gebiete der reinen Geometrie [« Enquêtes sur les cercles les plus importants appartenant au triangle - un traité de géométrie pure »], Wohler, 1836 (présentation en ligne)
↑ (de) K. G. Reuschle, « Über die Punckte des dreiecks, deren Verbindungsstrecken wom Schwerpunckt gedrittelt », Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 11,‎ 1866, p. 475-493.
↑ Emile Vigarié, « Sur les points complémentaires », Mathesis, vol. VII,‎ 1887, p. 6-12
↑ Adolphe Mineur, Cubiques Anallagmatiques, 1924

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Complement », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Anticomplement », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[1] Jean-Louis Aymé, « Complémentarité » [archive] [PDF]

[2] (de) Christian Heinrich von Nagel, Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörigen Kreise : eine Abhandlung aus dem Gebiete der reinen Geometrie [« Enquêtes sur les cercles les plus importants appartenant au triangle - un traité de géométrie pure »], Wohler, 1836 (présentation en ligne)

[3] (de) K. G. Reuschle, « Über die Punckte des dreiecks, deren Verbindungsstrecken wom Schwerpunckt gedrittelt », Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 11,‎ 1866, p. 475-493.

[4] Emile Vigarié, « Sur les points complémentaires », Mathesis, vol. VII,‎ 1887, p. 6-12

[5] Adolphe Mineur, Cubiques Anallagmatiques, 1924

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron