−1 (nombre)

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−1 est le nombre entier plus grand que moins deux (−2) et plus petit que 0.

-2−10
Cardinal moins 1
Ordinal −1e
Autres numérations
Numération romaine
Système binaire −1 ou 11111111
(complément à deux)
Système octal −1
Système duodécimal −1
Système hexadécimal −1 ou FF
(complément à deux)

En mathématiques[modifier | modifier le code]

Moins un :

  • possède certaines propriétés légèrement différentes du nombre plus un. Moins un serait un élément neutre pour la multiplication s’il ne changeait pas le signe :
(-1) \cdot x = -x
  • Nous admettons que x^{-1} = \frac{1}{x}\,, ce qui veut dire qu’élever un nombre à une puissance −1 est la même chose que de calculer son inverse. Cette définition possède un sens puisqu’elle préserve l’addition des puissances :
x^a.x^b = x^{(a + b)}\, dans le cas où a ou b sont négatifs (c’est-à-dire dans le cas où a et b ne sont pas tous les deux positifs).

Pourquoi −1 × −1 est égal à 1 ?[modifier | modifier le code]

Plus généralement, pourquoi un négatif fois un négatif donne un positif ? Il existe deux manières de répondre à cette question. La première est intuitive et conceptuelle ; la deuxième est formelle et algébrique.

Explication intuitive[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs manières de conceptualiser la multiplication. Limitons-nous aux nombres positifs, pour le moment.

La multiplication est, de façon basique, une addition répétée. Pour multiplier 50 par 3, nous pouvons imaginer une barre droite de 50 centimètres de long en face de nous. Si nous reportons trois fois cette longueur dans le même sens, avec la fin de la barre placée au début de l’autre mise précédemment, nous obtiendrons exactement une longueur de 3 × 50 cm, autrement dit 50 cm + 50 cm + 50 cm, ceci trois fois.

Qu’est-ce que cela voudrait dire en plaçant ceci « négativement plusieurs fois » ? Une réponse peut être faite par rapport au sens du déplacement, si nous les plaçons dans le sens opposé trois fois de suite, nous retournerons à notre point initial. Nous faisons la même action en multipliant par un nombre négatif à la différence près que nous changeons de sens. Si nous allons vers la droite en multipliant par un nombre positif, nous allons à gauche en multipliant par un nombre négatif.

Ceci ne couvre que le cas d’une longueur « positive ». Si nous supposons que la multiplication ne dépend pas de l’ordre des termes (commutativité), alors 50 × −3 = −3 × 50 = −150. Aligner une longueur de 50 cm moins 3 fois nous donnera une longueur de 150 centimètres vers la gauche, (en utilisant les directions précédentes). Cependant, ce serait le même résultat si nous avions orienté la gauche au départ puis aligné une longueur de 30 centimètres 5 fois dans ce sens. En d’autres mots, pour multiplier en utilisant une longueur négative, nous devons orienter dans la direction opposée au sens original avant d’aligner la longueur.

Maintenant, nous pouvons voir pourquoi −1 × −1 = 1. Nous orientons la gauche originellement. Notre barre a une longueur de −1, donc nous la tournons nous-mêmes pour indiquer la droite. Puis, nous plaçons la barre de façon négative, une fois, c’est-à-dire nous nous orientons nous-mêmes vers la gauche et nous plaçons la barre. Ceci est la même chose si nous avions simplement placé la barre vers la gauche sans que nous ayons bougé.

Explication algébrique[modifier | modifier le code]

L’explication algébrique est essentiellement une formalisation de l’explication intuitive précédente. Démarrons avec l’équation

0 = 0 \cdot 0 = (1+(-1)) \cdot (1+(-1))

La première égalité se déduit du fait que « quelque chose fois zéro donne zéro ». La seconde se déduit de la définition de −1 comme étant l’opposé de 1 : c’est précisément ce nombre qui, ajouté à 1, donne 0. Maintenant, en utilisant la distributivité, nous pouvons voir que

0 = (1\cdot 1) + ((-1)\cdot 1) + (1\cdot (-1)) + ((-1)\cdot (-1)) = -1 + ((-1)\cdot (-1))

La deuxième égalité se déduit du fait que 1 est l’élément neutre pour la multiplication et une simple addition. Nous pouvons ajouter 1 aux deux côtés de cette dernière équation pour voir que −1 × −1 = 1.

L’argument précédent reste valable dans tout anneau.

Dans d'autres domaines[modifier | modifier le code]

Représentation informatique[modifier | modifier le code]

Il existe une variété de manières de représenter −1 (et les nombres négatifs en général) dans les systèmes informatiques, la plus commune étant le complément à deux de leur forme positive. Puisque cette représentation peut aussi représenter un nombre entier positif en représentation binaire standard, un programmeur doit être prudent et ne pas confondre les deux. Moins un en complément à deux peut être confondu avec l’entier positif 2^n - 1\,, où n est le nombre de chiffres dans la représentation (c’est-à-dire, le nombre de bits dans le type de données). Par exemple, 11111111 représente −1 en complément à deux sur 8 bits, mais représente 255 en représentation standard binaire.