Éléments de mathématique

Éléments de mathématique

Nicolas Bourbaki Premier tome de la « nouvelle édition » des Éléments de mathématique, 1970, chez Hermann.

Formats	Traité Série de livres
Comprend	Théorie des ensembles (d) Algèbre (d) Topologie générale (d)
Auteur	Nicolas Bourbaki
Date de parution	Depuis 1939

Éléments de mathématique est un traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki, signé N. Bourbaki et composé de onze livres (divisés chacun en un ou plusieurs chapitres). Les premiers tomes furent publiés par les éditions Hermann à partir de 1939 d'abord sous forme de fascicules, puis dans une édition nouvelle sous forme de volumes reliés. À la suite d'un désaccord avec l'éditeur, la publication a été reprise au milieu des années 1970 par le C.C.L.S. (Centre commercial du livre spécialisé), puis, dans les années 1980, par les éditions Masson. Depuis 2006, Springer Verlag réédite tous les fascicules. Le dernier volume, Topologie algébrique, chapitres 1 à 4, a paru en 2016.

Le singulier « mathématique » utilisé dans le titre est un fait volontaire des auteurs, qui pensent que la discipline constitue un bloc unique, contrairement à ce que suggère son intitulé habituel. Inversement, les Éléments d'histoire des mathématiques, des mêmes auteurs, adoptent le pluriel, pour indiquer qu'avant Bourbaki, les mathématiques étaient un ensemble épars de disciplines, et que c'est la notion moderne de structure qui a permis leur unification.

Plan du traité (parties publiées)

Première partie : Les Structures fondamentales de l’analyse

« Dans les six premiers Livres, chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans le chapitre en cours ou dans les chapitres antérieurs dans l'ordre suivant : E ; A, chapitres I à III ; TG, chapitres I à III ; A, chapitres IV et suivants ; TG, chapitres IV et suivants ; FVR ; EVT ; INT. »

• Livre I : Théorie des ensembles   (désigné par E)
  1. Description de la mathématique formelle
  2. Théorie des ensembles
  3. Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers
  4. Structures

• Fascicule de résultats

• Livre II : Algèbre   (désigné par A)
  1. Structures algébriques
  2. Algèbre linéaire
  3. Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques
  4. Polynômes et fractions rationnelles
  5. Corps commutatifs
  6. Groupes et corps ordonnés
  7. Modules sur les anneaux principaux
  8. Modules et anneaux semi-simples
  9. Formes sesquilinéaires et formes quadratiques
  10. Algèbre homologique
• Livre III : Topologie générale   (désigné par TG)
  1. Structures topologiques
  2. Structures uniformes
  3. Groupes topologiques
  4. Nombres réels
  5. Groupes à un paramètre
  6. Espaces numériques et espaces projectifs
  7. Les groupes additifs Rⁿ
  8. Nombres complexes
  9. Utilisation des nombres réels en topologie générale
  10. Espaces fonctionnels
  • Fascicule de résultats
• Livre IV : Fonctions d'une variable réelle   (désigné par FVR)
  1. Dérivées
  2. Primitives et intégrales
  3. Fonctions élémentaires
  4. Équations différentielles
  5. Étude locale des fonctions
  6. Développements tayloriens généralisés, formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
  7. La fonction gamma

Dictionnaire

• Livre V : Espaces vectoriels topologiques   (désigné par EVT)
  1. Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué
  2. Ensembles convexes et espaces localement convexes
  3. Espaces d'applications linéaires continues
  4. La dualité dans les espaces vectoriels topologiques
  5. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire)

Dictionnaire

Fascicule de résultats

• Livre VI : Intégration   (désigné par INT)
  1. Inégalités de convexité
  2. Espaces de Riesz (en)
  3. Mesures sur les espaces localement compacts
  4. Prolongement d'une mesure et espaces L^p
  5. Intégration des mesures
  6. Intégration vectorielle (en)
  7. Mesure de Haar
  8. Convolution et représentations
  9. Intégration sur les espaces topologiques séparés

Deuxième partie

« À partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres étant toujours supposés connus). »

• Algèbre commutative   (livre désigné par AC)
  1. Modules plats
  2. Localisation
  3. Graduations, filtrations et topologies
  4. Idéaux premiers associés (en) et décomposition primaire
  5. Entiers
  6. Valuations
  7. Diviseurs
  8. Dimension
  9. Anneaux locaux noethériens complets
  10. Profondeur, régularité (en), dualité (en)
• Théories spectrales   (livre désigné par TS)
  1. Algèbres normées
  2. Groupes localement compacts commutatifs
• Variétés différentielles et analytiques (en)   (livre désigné par VAR)
  • Fascicule de résultats
• Groupes et algèbres de Lie   (livre désigné par LIE)
  1. Algèbres de Lie
  2. Algèbres de Lie libres (en)
  3. Groupes de Lie
  4. Groupes de Coxeter et systèmes de TitsSystème de Tits
  5. Groupes engendrés par des réflexions (en)
  6. Systèmes de racines
  7. Sous-algèbres de CartanSous-algèbre de Cartan et éléments réguliers (en)
  8. Algèbres de Lie semi-simples déployées (en)
  9. Groupes de Lie réels compacts (en)
• Topologie algébrique   (livre désigné par TA)
  1. Revêtements
  2. Groupoïdes
  3. Homotopie et groupoïde de Poincaré
  4. Espaces délaçables

Éléments d'histoire des mathématiques

Les Éléments d'histoire des mathématiques est un livre qui recueille dans un seul volume les notes historiques qui accompagnent les livres des Éléments de mathématique.

Évolution du projet

Le premier volume à être publié, en 1939, fut le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles. La publication des volumes suivants ne respecta pas l'ordre du traité. Le premier volume de Topologie générale parut en 1940, deux ans avant le premier volume d’Algèbre (en 1942) et quatorze ans avant le premier volume détaillé de la Théorie des ensembles (en 1954). Le premier volume de Espaces vectoriels topologiques parut en 1953, après le premier volume d'Intégration (1952). Les chapitres 2 et 3 de Groupes et algèbres de Lie parurent en 1972, après les chapitres 4 à 6 (en 1968).

Les éditeurs ont tout d'abord été Hermann (depuis les débuts de la rédaction du Traité, en 1939) puis le CCLS (Centre commercial du livre scientifique), dans les années 1970, Masson (de 1980 jusqu'en 1998), et enfin Springer (avec la parution, en 2012, de la deuxième édition du chapitre 8 du Livre d'Algèbre et en 2016 du premier volume consacré à la Topologie algébrique).

Le dixième chapitre de l’Algèbre commutative fut le dernier volume publié par Masson en 1998. La plupart des livres publiés étaient épuisés depuis des années. L'éditeur Springer a cependant entrepris en 2006 leur réimpression. À cet effet, ont été réimprimés d'abord : Algèbre commutative, Groupes et algèbres de Lie et la Théorie des ensembles, puis tous les autres livres. Une nouvelle édition complètement refondue du chapitre 8 du livre d'Algèbre (Modules et anneaux semi-simples) fut publiée par Springer en 2012. Le premier volume de Topologie algébrique qui parut en 2016 est le premier volume publié par Bourbaki depuis 1998 qui ne soit pas une réédition. Les Éléments de mathématique restent, encore à ce jour, inachevés.

Détail des éditions

Figurent ci-dessous, pour chaque volume ou fascicule des Éléments de mathématique, les références de la première et de la dernière édition.

Les rapports et premières rédactions (jusqu'en 1954) sont disponibles en ligne.

Première partie

Théorie des ensembles (1939-1970)

• Livre I, Théorie des ensembles, Hermann, 1970 (réimpr. 1998, 2006) (1^re éd. 1939-1954-1956-1957), 352 p. (ISBN 978-3-540-34034-8, lire en ligne)

Algèbre (1942-2012)

• Livre II, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, 1970 (réimpr. 2007) (1^re éd. 1942-1947-1948), 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9)
• Livre II, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Masson, 1981 (réimpr. 2007) (1^re éd. (Hermann) 1950-1952), 422 p. (ISBN 978-3-540-34398-1)
• Livre II, Algèbre, Chapitre 8, Springer, 2012, 2^e éd. (1^re éd. (Hermann) 1958), 489 p. (ISBN 978-3-540-35315-7, lire en ligne)
• Livre II, Algèbre, Chapitre 9, Hermann, 1959 (réimpr. 1973, 2007), 205 p. (ISBN 978-3-540-35338-6)
• Livre II, Algèbre, Chapitre 10, Masson, 1980 (réimpr. 2006), 216 p. (ISBN 978-3-540-34492-6)

Topologie générale (1940-1974)

• Livre III, Topologie générale, Chapitres 1 à 4, Hermann, 1971 (réimpr. 1990, 2007) (1^re éd. 1940-1942), 356 p. (ISBN 978-3-540-33936-6, lire en ligne)
• Livre III, Topologie générale, Chapitres 5 à 10, Hermann, 1974 (réimpr. 2007) (1^re éd. 1947-1948-1949), 324 p. (ISBN 978-3-540-34399-8)
• Livre III, Topologie générale, Fascicule de résultats, Hermann, 1953 (réimpr. 1964)

Fonctions d'une variable réelle (1949-1976)

• Livre IV, Fonctions d'une variable réelle, Hermann, 1976 (réimpr. 2007) (1^re éd. 1949-1951), 334 p. (ISBN 978-3-540-34036-2)

Espaces vectoriels topologiques (1953-1981)

• Livre V, Espaces vectoriels topologiques, Chapitres 1 à 5, Masson, 1981 (réimpr. 2007) (1^re éd. (Hermann) 1953-1955), 368 p. (ISBN 978-3-540-34497-1)

Intégration (1952-1969)

• Livre VI, Intégration, Chapitres 1 à 4, Hermann, 1965 (réimpr. 1973, 2007), 2^e éd. (1^re éd. 1952), 284 p. (ISBN 978-3-540-35328-7, lire en ligne)
• Livre VI, Intégration, Chapitre 5, Hermann, 1967 (réimpr. 2007), 2^e éd. (1^re éd. 1956), 154 p. (ISBN 978-3-540-35333-1, lire en ligne)
• Livre VI, Intégration, Chapitre 6, Hermann, 1959 (réimpr. 1960, 1968, 2007), 106 p. (ISBN 978-3-540-35319-5)
• Livre VI, Intégration, Chapitres 7 et 8, Hermann, 1963 (réimpr. 2007), 216 p. (ISBN 978-3-540-35324-9)
• Livre VI, Intégration, Chapitre 9, Hermann, 1969 (réimpr. 2006), 134 p. (ISBN 978-3-540-34390-5)

Deuxième partie (depuis 1960)

Groupes et algèbres de Lie (1960-1982)

• Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1, Hermann, 1971 (réimpr. 1973, 2007), 2^e éd. (1^re éd. 1960), 140 p. (ISBN 978-3-540-35335-5)
• Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 2 et 3, Hermann, 1972 (réimpr. 2006), 314 p. (ISBN 978-3-540-33940-3)
• Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4 à 6, Masson, 1981 (réimpr. 2007), 2^e éd. (1^re éd. (Hermann) 1968), 282 p. (ISBN 978-3-540-34490-2)
• Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 7 et 8, Hermann, 1975 (réimpr. 1990, 2006), 2^e éd. (1^re éd. 1969), 266 p. (ISBN 978-3-540-33939-7)
• Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 9, Masson, 1982 (réimpr. 2007), 138 p. (ISBN 978-3-540-34392-9, lire en ligne)

Algèbre commutative (1961-1998)

• Algèbre commutative,, Chapitres 1 à 4, Masson, 1985 (réimpr. 2006) (1^re éd. (Hermann) 1961), 356 p. (ISBN 978-3-540-33937-3)
• Algèbre commutative, Chapitres 5 à 7, Masson, 1985 (réimpr. 2006) (1^re éd. (Hermann) 1964-1965), 351 p. (ISBN 978-3-540-33941-0)
• Algèbre commutative, Chapitres 8 et 9, Masson, 1983 (réimpr. 2006), 308 p. (ISBN 978-3-540-33942-7)
• Algèbre commutative, Chapitre 10, Masson, 1998 (réimpr. 2007), 187 p. (ISBN 978-3-540-34394-3)

Théories spectrales (1967)

• Théories spectrales, Chapitres 1 et 2, Springer-Verlag, 2019 (réimpr. 2007), 2^e éd. (1^re éd. 1967), 166 p. (ISBN 978-3-030-14064-9, lire en ligne)

Variétés différentielles et analytiques (1967-1971)

• Variétés différentielles et analytiques, Fascicule de résultats, CCLS, 1982 (réimpr. 1998, 2007) (1^re éd. (Hermann) 1967-1971), 196 p. (ISBN 978-3-540-34396-7, lire en ligne)

Topologie algébrique (2016)

• Topologie algébrique, chapitres 1 à 4, Springer, 2016, 516 p. (ISBN 978-3-662-49361-8, présentation en ligne)

Éléments d'histoire des mathématiques (1960-1974)

• Éléments d'histoire des mathématiques, Hermann, 1974 (réimpr. 1984, 2007), 3^e éd. (1^re éd. 1960), 376 p. (ISBN 978-3540339380, présentation en ligne)